Fatoração é um processo matemático utilizado para transformar números reais em uma grande multiplicação de valores. Isso facilita, por exemplo, quando estamos em busca do mínimo múltiplo comum entre diferentes números ou quando precisamos realizar cálculos com diferentes expoentes e logaritmos.
Para aprender a fatoração com mais detalhes, quais são os tipos existentes, os diferentes métodos para realizá-la e acompanhar a aplicação desse conhecimento em questões de vestibulares, continue lendo este artigo.
Navegue pelo conteúdo
O que é fatoração?
O processo de fatoração pode ser descrito como a decomposição de um valor em diferentes fatores multiplicativos. Ou seja, se multiplicarmos todos os elementos de uma fatoração, o resultado deve ser igual ao valor do número fatorado.
Decompor os valores só é possível porque, segundo o teorema fundamental da aritmética, qualquer número inteiro maior do que um pode ser reescrito na forma de número primos que se multiplicam.
Por exemplo, observe o número 452. Ele pode ser transformado na multiplicação de vários fatores primos: 452 = 2.226 = 2.2.113. Observe que 2 e 113 são números primos, então, o número 452 decomposto (ou fatorado) é igual a 452 = 2.2.113.
Como o conceito de números primos e divisores é fundamental para entender a fatoração, vamos relembrá-los a seguir:
Um número é considerado primo quando só é divisível por um e por ele mesmo. Isso significa que, ao dividi-lo por qualquer outro valor, a conta não resulta em um número inteiro. Em geral, os vestibulares cobram o conhecimento dos principais valores primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.
Note que você não precisa decorar essa lista, mas pode ser importante reconhecer quando um número é primo ou não, principalmente quando estamos trabalhando com a fatoração de valores. Nesse sentido, uma dica importante é observar o valor em questão e pensar:
- Se é um valor par, o que já faz ele divisível por 2;
- Se a soma de seus algarismos é um valor divisível por três, se sim, ele pode ser dividido por 3;
- Se o algarismo das unidades é igual a cinco ou zero, o que confere divisibilidade por 5
- Depois disso, você pode usar outras propriedades para testar a possibilidade de dividir por 7 ou 11 e assim por diante, até que perceba que nenhum valor está se encaixando na operação; e
- Nesse momento, tente lembrar se o valor aparece como resultado na tabuada que aprendemos durante a infância. Caso isso não aconteça, fica mais fácil perceber que o número é primo.
Para que serve a fatoração?
Conhecer e dominar a fatoração é muito importante durante o período pré-vestibular. Essa operação pode ser utilizada, por exemplo, para resolver problemas matemáticos com radiciação, para encontrar a raiz quadrada de um valor qualquer. De modo semelhante, as questões com exponenciação podem ser solucionadas com mais facilidade quando decompomos o número em diversos fatores.
Como citado anteriormente, a fatoração é importante para encontrar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum, dois conceitos relevantes para resolver expressões algébricas que possuem diversas frações.
Por fim, fatorar é uma parte essencial para a resolução de exercícios sobre polinômios. Nesse caso, a presença de incógnitas diferentes e/ou termos semelhantes permite o agrupamento deles em diferentes parênteses, com intensa utilização das propriedades da multiplicação. Veja mais nos tópicos a seguir:
Como fatorar um número?
Para transformar um número em uma multiplicação de diferentes fatores, devemos dividi-lo exaustivamente por números primos até que o resultado da divisão seja um. Lembre-se, também, que as divisões devem ser exatas e, por isso, não sobrarão restos.
Observe as etapas desenvolvidas acima. Como o número 160 é par, iniciou-se a fatoração com o primeiro primo, o 2. A seguir, utiliza-se o mesmo procedimento com 80, 40, 20, 10. Quando o resultado chegou ao valor 5, dividimos o valor por 5, que também é um número primo. Já que valor da conta 5/5 é 1, a operação está finalizada.
Os números primos que aparecem ao lado direito da barra vertical são todos os fatores da decomposição de 160. Isso significa que 160 = 2.2.2.2.2.5. A partir das propriedades da exponenciação podemos, então, presumir que 160=25.32.
Tipos de fatoração
A fatoração pode ser feita, também, em expressões algébricas. Nesse caso, o principal objetivo é agrupar os termos que possuem um múltiplo em comum. Especialmente no caso de polinômios, esse tipo de raciocínio é interessante para a resolução de questões. Agora, vamos conhecer os diferentes tipos de fatoração e suas aplicações.
Fator comum em evidência
Quando dois termos da equação possuem o mesmo fator, entendemos que existe um fator comum entre os dois. Assim, os valores multiplicados podem ser agrupados em um parênteses, respeitando-se o sinal de negativo e positivo, da seguinte forma:
4x + 4y = 4(x + y)
2.3z – 2.5w = 2(3z – 5w)
15a + 21b = 3.5a + 3.7b = 3(5a + 7b)
Agrupamento de termos semelhantes
No caso de expressões matemáticas que não possuem um fator comum a todos os termos, é possível separar em diferentes parênteses. Por vezes, esse tipo de agrupamento resulta em uma multiplicação mais simples entre dois parênteses, observe nos exemplos abaixo:
3x + 4x + 3y + 4y = x (3 + 4) + y (3 + 4) = (x + y). (3 + 4)
2.5a + 2.7a + 4.5b + 28b = 2a (5 + 7) + 4b (5 +7) = (2a + 4b) . (5 + 7)
A partir da fatoração, os matemáticos desenvolveram os produtos notáveis, fórmulas matemáticas para encontrar a decomposição de uma expressão algébrica. Entre eles estão:
- Quadrado da soma e da diferença
(a+b)2 = (a+b).(a+b)
(a+b)2 = a2 + a.b + a.b + b2
(a+b)2 = a2 + 2.a.b + b2
(a-b)2 = (a-b).(a+b)
(a-b)2 = a2 – a.b – a.b + b2
(a-b)2 = a2 – 2.a.b + b2
- Cubo da soma e da diferença
(a+b)3 = (a+b).(a+b).(a+b)
(a-b)3 = (a-b).(a-b).(a-b).
Questão de vestibular sobre fatoração
(FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Cubo da soma: (a+b)3 = (a+b).(a+b).(a+b)
(a+b)3 = (a+b).(a+b)2
(a+b)3 = (a+b).(a2 + 2.a.b + b2)
(a+b)3 = (a.a2 + 2.a.b.a + b2.a) + (b.a2 + 2.a.b.b + b2.b)
(a+b)3 = a3 + 2.a2.b + b2.a + b.a2 + 2.a.b2 + b3
(a+b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
Soma de seus cubos: a3 + b3
Diferença entre o cubo da soma e a soma de cubos:
a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 – (a3 + b3) =
= a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 – a3 – b3 =
= 3.a2.b + 3.a.b2 = 3.a.b (a + b)
Observe que o fator comum é 3.a.b. A partir disso, sabemos que o resultado da multiplicação deve ser, obrigatoriamente, múltiplo de 3. A única alternativa que dá essa opção é a letra C) 6.
Planeje seus estudos com a Coruja!
Nos pacotes do Estratégia Vestibulares, você pode acessar trilhas estratégias: cronogramas completos para te guiar sobre o que, como e quando estudar. Tudo isso alinhado com aulas didáticas, que te dão a base de conhecimento necessário para realizar sua prova. Clique no banner e saiba mais!
Veja também:
- Equações: principais tipos, fórmulas e aplicações
- Função de Primeiro Grau: o que é e como aplicar em prova?
- Equação do primeiro grau: o que é, tipos, como resolver e questões
- Inequações: o que são, como resolver e questões
- Produtos notáveis: definição, fórmulas e aplicações
- Função de Segundo Grau: o que é e como resolver questões
- Equação do segundo grau: como resolver, fórmulas, exercícios de vestibulares
- Sistemas lineares: o que são, como resolver e aplicações
- Regra de sinais: o que é e como funciona o jogo de sinais
