A função afim é muito utilizada em vestibulares, porque aparece na maior parte dos gráficos e pode ser muito explorada em problemas matemáticos. Trata-se de uma função que se traduz como uma reta no plano cartesiano, por meio de uma função do primeiro grau.
Neste artigo, você poderá ver um resumo sobre a função afim, com a lei de formação geral, como identificá-la, qual o traçado do gráfico e como ele varia com as alterações de coeficientes, com foco em como aplicar esse conhecimento em questões de vestibulares. Leia e saiba mais!
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O que é função afim?
Em matemática uma função é como uma máquina que faz sempre um mesmo processo: adicionando-se um número x, ocorrerão operações matemáticas que transformarão esse valor em y. Isso significa que os valores de x são variáveis, assim como os resultados y.
No caso de uma função afim, trata-se de uma função do primeiro grau, ou seja, em que a variável x só pode estar elevada a um expoente igual a 1. Por meio dessa definição, esse tipo de cálculo tem a seguinte lei de formação:
f(x) = ax + b
x é a variável, que pode ser trocada
a é um coeficiente de valor real, diferente de 0
b é um coeficiente pertencente ao conjunto dos números reais
Note que a única restrição adotada no modelo acima é que a ≠ 0. Isso significa que:
- f(x) = x + 5 é uma função afim, porque a ≠ 0;
- f(x) = 10x é uma função afim, já que a ≠ 0, apesar de b=0; e
- f (x) = 0x + 9 não pode ser uma função afim, porque a = 0.
+ Veja mais: Fórmulas matemáticas: principais fórmulas que aparecem no vestibular
No exercício abaixo, que apareceu na prova da Universidade Federal de Santa Maria, é importante encontrar a função afim que determina o cálculo. Acompanhe.
(UFSM) Sabe-se que o preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, que é denominada bandeirada, e uma parcela variável, que é função da distância percorrida. Se o preço da bandeirada é de R$ 4,60 e o quilômetro rodado é R$ 0,96, a distância percorrida pelo passageiro que pagou R$ 19 para ir de sua casa ao shopping é de:
A) 5 km
B) 10 km
C) 15 km
D) 20 km
E) 25 km
O valor da corrida sempre se inicia com a bandeirada de 4,60, algo que não está condicionado à quantidade de quilômetros rodados, então, não deve ser multiplicada pela distância. Nesse caso, só poderia ser o b da função afim.
Depois, os 0,96 devem ser multiplicados pela quilometragem percorrida, o que resulta na função f(x) = 0,96.x + 4,60. De forma que x representa os quilômetros rodados. Basta, agora, igualar o cálculo ao valor pago pelo cliente, para encontrar a distância da corrida.
19 = 0,96.x + 4,60
14,40 = 0,96.x
1440 = 96x
120 = 8x
30 = 2x
x = 15, como aponta a alternativa C.
Gráfico de uma função afim
O gráfico de uma função é construído a partir de um plano cartesiano. Primeiramente, adicionam-se valores de x ao cálculo, de forma que são obtidos diferentes valores de y. Cada x determina um valor de y e, por meio disso, é marcado um ponto no plano. A união entre esses pontos resulta em um traçado, que é o gráfico da função. Acompanhe agora:
| Valor de x | Função f(x) = 2x + 2 | Valor de y |
| -3 | f(-3) = 2.(-3) + 2 = -6 + 2 = -4 | -4 |
| -2 | f(-2) = 2.(-2) + 2 = -4 + 2 = -2 | -2 |
| -1 | f(-1) = 2.(-1) + 2 = -2 + 2 = 0 | 0 |
| 0 | f(0) = 2.0 + 2 = 0 + 2 = 2 | 2 |
| 1 | f(1) = 2.1 + 2 = 2 + 2 = 4 | 4 |
| 2 | f(2) = 2.2 + 2 = 4 + 2 = 6 | 6 |
| 3 | f(3) = 2.3 + 2 = 6 + 2 = 8 | 8 |
Note que o gráfico montado tem o formato de uma reta, que atravessa o plano cartesiano e, como não há limitação para os valores de x, ele pode crescer infinitamente tanto para a direita quanto para a esquerda.
São os gráficos de uma função afim: retas determinadas por meio da lei de formação. Elas podem ser mais ou menos inclinadas. Vamos aprender algumas propriedades sobre esse gráfico.
Propriedades do gráfico de uma função afim
Coeficiente angular
O coeficiente a de uma função é o coeficiente angular dessa reta, ou seja, determina a inclinação da reta em relação ao eixo x (horizontal). De maneira que, tomado o gráfico que se forma entre o gráfico e o eixo das abscissas como α, a tangente de α será igual ao coeficiente angular.
tg α = a
Coeficiente linear
O coeficiente linear é a letra b da função. Ele é chamado assim porque, no caso em que a=0, ele forma uma função constante, que passa apenas por uma única linha, em que f(x) = b. Nesse caso, o gráfico é uma única reta horizontal, paralela ao eixo x.
Além disso, o valor de b também determina em qual ponto a reta cruzará o eixo y. Note que, quando x é 0, é o momento de travessia da reta por esse eixo vertical. E, na função afim, se x=0, y=b. Então, toda função afim possui o ponto (0,b).
Por fim, é importante mencionar que existe a função linear. Nesse caso, b=0, e todo o valor de y é derivado da multiplicação entre a e x. Nesse caso, o ponto de cruzamento com o eixo y será o ponto (0,0).
Crescente e decrescente
Uma função afim é considerada crescente quando, à medida que o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Ou seja, uma função que se inclina de baixo para cima, da esquerda para a direita. Isso acontece quando a>0 .
Por outro lado, quando a<0, o gráfico é inclinado de cima para baixo, da esquerda para a direita. Essas são as funções decrescentes, quando, conforme o valor de x aumenta, menor fica o resultado final y do cálculo.
Por exemplo, vamos explorar a questão de vestibular da Universidade Federal do Piauí:
A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando:
a) a > 0
b) a < 3/2
c) a = 3/2
d) a > 3/2
e) a < 3
Conforme foi discutido acima, todo o coeficiente que multiplica o valor de x, em uma função afim, deve ser maior que zero para que a função tenha um gráfico crescente. Nesse caso, o coeficiente angular a está representado por uma expressão matemática dentro do parênteses, coeficiente angular = 3 – 2a.
É importante não se confundir entre o a que representa o coeficiente angular e o a que está dentro dos parênteses. Nesse caso, vamos chamar esse coeficiente angular de A, para facilitar a compreensão.
Se A>0, então f(x) é crescente. Então monta-se uma inequação com a união entre as duas informações obtidas:
A = 3 – 2a
A > 0
3 – 2a > 0
-2a > -3
2a < 3 (todas as vezes que uma inequação é multiplicada por -1, é preciso inverter o sinal de maior ou menor que)
a < 3/2
Isso significa que toda vez que a < 3/2, o coeficiente angular A>0 e a função será crescente, como aponta a alternativa b.
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