O módulo é uma importante entidade da matemática, por meio dele, podemos encontrar a distância que um número está na origem da reta real, somente com valores positivos. Nesse sentido, a função modular é aquela que possui pelo menos uma variável em módulo.
No artigo a seguir, você conhecerá as diversas possibilidades para uma função modular, quais são as propriedades aritméticas e gráficas dessas expressões matemáticas, além de acompanhar a resolução de um exercício de prova sobre o assunto. Continue lendo e saiba mais!
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O que é função modular?
O conceito de função modular admite ao menos uma variável dentro do módulo, como em f(x) = |x| + 15. Nessas condições, o domínio e contradomínio da função é o conjunto de todos os números reais.
Antes de abordar as propriedades da função modular, vamos relembrar conceitos básicos que facilitarão a compreensão do tema!
Um módulo é o valor absoluto de um número real, sempre expresso em números positivos. Afinal, o objeto de modular um elemento é entender qual a distância entre aquele valor e a origem da reta real.
Nesse sentido, a distância entre -5 até o valor de 0 é dada por cinco unidades. De forma semelhante, a medida entre 5 e 0 também é de cinco unidades. Então, embora -5 e 5 tenham valores inteiros distintos, é possível colocá-los dentro um módulo e igualá-los.
|-5| = 5
|5| = 5
|-5| = |5| = 5
A função, por sua vez, é uma lei matemática que dita como relacionar uma variável dentro daquele contexto. Por exemplo, se f (x) = x – 2 e f(x) = y, qualquer que seja o x adicionado, o resultado da função será um y duas unidades menores do que a variável.
f (x)= x – 2
f (x) = y
x – 2 = y
Se x=4:
f (4) = 4 – 2
f(4) = 2
Semelhantemente, a função modular representa a junção entre os conceitos de módulo e as leis matemáticas.
f (x) = |x|
f (-3) = |-3|
|-3| = 3
f (-3) = 3
A configuração da expressão matemática poderá ser diferente, se houverem mais coeficientes e termos:
f (x) = |x| + x2 + 2
f (-2) = |-2| + (-2)2 + 2
f (-2) = 2 + 4 + 2
f (-2) = 8
Note também, que uma função modular pode ter seu módulo em qualquer classe de equações, do primeiro grau, segundo grau, polinômios, exponenciais, radiciações ou outras operações matemáticas.
Propriedades
As propriedades da função modular são, basicamente, uma síntese de todas as características dos módulos. Essas informações devem ser consideradas no desenvolvimento dos cálculos, para garantir a exatidão dos resultados.
Adote que z e w são dois números pertencentes ao conjunto numérico dos reais, z ∈ lR; w ∈ lR.
- O módulo de número real é igual ao módulo de seu valor oposto
|-z| = |z|
|-7| = |7|
7 = 7 - O módulo de z elevado ao quadrado é igual ao valor do quadrado do módulo de z
|z2| = |z|2
|(-2)2| = |-2|2
|4| = 22
4 = 4 - O módulo da diferença entre z e w é sempre maior ou igual que a diferença dos módulos
|z-w| ≥ |z| – |w|
|-7-3| ≥ |-7| – |3|
|-10| ≥ 7 – 3
10 ≥ 4 - O módulo da soma é menor ou igual à soma dos módulos
|z+w| ≤ |z| + |w|
|5+ (-6)| ≤ |5| + |-6|
|5 – 6| ≤ 5 + 6
|- 1| ≤ 11
1 ≤ 11 - O módulo do produto z.w é igual ao produto dos módulos
|z.w| = |z|.|w|
|-2.3| = |-2|.|3|
|-6| = 2.3
6 = 6
Gráficos de uma função modular
A função modular possui características gráficas importantes, a depender da relação entre o módulo e a variável.
A forma mais simples desse tipo de função, dada por f(x) = |x|, admite que qualquer que seja o valor de x, o resultado será positivo. Em termos gráficos, isso significa que não haverá traçado de gráfico na parte negativa do eixo y.
Para construir esse gráfico, admitimos valores numéricos para ela em uma tabela, tentando entender qual o comportamento dos dados conforme alterna-se a variável x.
| x | f(x) = |x| | (x, y) |
| -2 | f(-2) = |-2| = 2 | (-2, 2) |
| -1 | f(-1) = |-1| = 1 | (-1, 1) |
| 0 | f(0) = |0| = 0 | (0, 0) |
| 1 | f(1) = |1| = 1 | (1, 1) |
| 2 | f(2) = |2| = 2 | (2, 2) |
Colocando todos os pontos no gráfico e ligando eles por meio de retas, fica evidente que a função modular admite a seguinte representação gráfica:
Mas, nem sempre a lei matemática oferecida apresenta esse gráfico mais simples. Por exemplo, se a função modular apresenta uma equação do segundo grau com resultados absolutos, o desenho deve ser obtido ao encontrar as raízes e rebater tudo para a parte positiva do eixo y, conforme mostra a figura a seguir.
Perceba, em azul claro, que a parte da função que fica com valores negativos é 0<x<4. Nesse sentido, o módulo serve para transformar esses números negativos em positivos, o que rebate a parábola para formar um desenho de “W”.
+ Veja mais: Função de Primeiro Grau: o que é e como aplicar em prova?
Função de Segundo Grau: o que é e como resolver questões
Questões de vestibulares sobre função modular
(EEAR) Seja f(x) = | 3x – 4 | uma função. Sendo a ≠ b e f(a) = f(b) = 6, então o valor de a + b é igual a
A) 5/3
B) 8/3
C) 5
D) 3
Como a é diferente de b, vamos desenvolver os cálculos, substituindo a e b por x:
f(x) = | 3x – 4 |
f(a) = f(b) = 6
f(x) = | 3x – 4 |
f(a) = | 3a – 4 |
| 3a – 4 | = 6
3a – 4 = 6
3a = 6 + 4
3a = 10
a = 10/3
Já que a função possui um módulo, podemos entender que |3x-4| pode ser igual a -6 -> |-6|=6. A partir dessa suposição:
f(b) = | 3b – 4 |
| 3b – 4 | = – 6
3b – 4 = -6
3b = -6 + 4
3b = -2 ]
b = -2/3
Com esses valores em mãos, veremos que: a + b = 10/3 – 2/3 = 8/3, conforme alternativa B.
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