Os ângulos notáveis são valores de ângulos e suas funções trigonométricas que aparecem com frequência no cotidiano e nas provas de vestibulares. Conhecer esses números facilita no desenvolvimento de cálculos em diversas áreas da matemática, como geometria plana, espacial, analítica, trigonometria, física óptica e muito mais.
Neste resumo, você encontra os principais ângulos matemáticos e seus valores de seno, cosseno e tangente. Veja também como encontrar esses números e onde eles estão situados no ciclo trigonométrico. Depois, vamos descobrir dicas e macetes importantes com a resolução comentada de exercícios de prova. Vamos lá?
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Quais são os ângulos notáveis?
Os principais ângulos, ou ângulos notáveis, são aqueles que aparecem com mais frequência em diversos problemas matemáticos. Em geral, é importante conhecê-los e decorar algumas de suas características também.
Vamos tratar, principalmente, dos valores de 30º, 45º e 60º. Mas saiba, também ,que é importante conhecer ângulos com 0º, 90º, 180º e 360º, que serão discutidos mais adiante.
Lembre-se, quando tratamos sobre o grau de abertura de um vértice, estamos no campo da trigonometria. Nesse sentido, saiba que seno, cosseno e tangente são razões trigonométricas que relacionam um ângulo com as projeções de sua reta nos eixos cartesianos. Essa padronização é obtida por meio do ciclo trigonométrico.
Tabela de ângulos notáveis
| sen | cos | tg | |
| 30º | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45º | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60º | √3/2 | 1/2 | √3 |
Veja que a tabela relaciona os ângulos notáveis com suas respectivas funções trigonométricas. Em cada linha, você pode descobrir o seno, o cosseno e a tangente do grau de abertura em questão.
Para construir essa tabela, existe uma paródia da música natalina Jingle Bells, que ajuda na memorização dessas funções trigonométricas, veja:
“Um, dois, três,
Três, dois, um,
todos sobre dois.
A raiz vai no três
e também no dois.
A tangente é diferente vejam só vocês:
raiz de três, sobre três
Um,
raiz de três.”
A canção deve ser entoada enquanto a tabela se monta. Primeiro, são formadas as duas primeiras colunas, colocando um número em cada casela. Depois, todas as cédulas torna-se frações, com divisão por dois, assim:
Depois, em todos os números dois ou três que estejam no numerador das frações, serão colocados sobre raízes quadradas
Depois, completa-se a última coluna da tabela, exatamente como está descrito nos versos da última estrofe.
Como são encontradas as funções dos ângulos notáveis?
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente podem ser encontradas por meio do ciclo trigonométrico. Mas o princípio que norteia esse conhecimento parte do estudo da trigonometria no triângulo retângulo.
Em um triângulo retângulo, o lado que fica imediatamente oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Depois, é preciso definir um ângulo de destaque para encontrar as razões trigonométricas.
No exemplo acima, considere que  é o ângulo em questão. Então, o lado do triângulo que está oposto a ele é chamado de cateto oposto, enquanto que o lado que forma o ângulo  juntamente com a hipotenusa é o cateto adjacente. A partir desses conceitos, admite-se que:
seno  = cateto oposto / hipotenusa
cosseno  = cateto adjacente / hipotenusa
tangente  = cateto oposto / cateto adjacente
Com todas essas fórmulas definidas e também a padronização do ciclo trigonométrico de raio 1, fica mais fácil definir as razões para os ângulos notáveis. Acompanhe:
Primeiro, encontramos o ângulo de 30º no ciclo trigonométrico e, a partir disso, ampliamos o triângulo retângulo formado entre o raio do círculo e as projeções dessa reta sobre o eixo x e o eixo y.
Perceba que raio = 1 e, nesse caso, o raio representa a hipotenusa do triângulo retângulo. O valor de 60º foi encontrado porque, obrigatoriamente, a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 180º.
Agora, vamos estabelecer as funções trigonométricas para 30º. Olhe para o triângulo retângulo A e perceba que, o cateto imediatamente oposto a ele mede ½ (co = 1/2), o cateto que está próximo ao ângulo tem √3/2 de comprimento (ca = √3/2). Com isso:
seno 30º = cateto oposto / hipotenusa = (½)/1 ⇒ sen 30º = 1/2
cosseno 30º = cateto adjacente / hipotenusa = (√3/2)/1⇒ cos 30º = √3/2
tangente 30º = cateto oposto / cateto adjacente = (1/2) / (√3/2) ⇒ tg 30º = √3/3
Depois, com procedimentos semelhantes aos que foram utilizados anteriormente, vamos descobrir as razões trigonométricas para o ângulo de 60º. Lembre-se de que, dessa vez, os catetos opostos e adjacentes têm valores invertidos: ca = ½ e co = √3/2.
seno 60º = cateto oposto / hipotenusa = (√3/2)/1 ⇒ sen 60º = √3/2
cosseno 60º = cateto adjacente / hipotenusa = (½)/1 ⇒ cos 60º = ½
tangente 60º = cateto oposto / cateto adjacente = (√3/2) / (1/2) ⇒ tg 60º = √3
É importante notar que os valores de seno e cosseno de ângulos complementares (que juntos somam 90º) serão invertidos, ou seja, o seno de um é o cosseno do outro. É exatamente isso que observamos entre 30º e 60º.
Por fim, vamos encontrar as razões trigonométricas de 45º. Em um quadrado, uma diagonal que parte de um vértice a outro divide o ângulo de 90º graus em dois ângulos de 45º. Diante disso, são formados dois triângulos retângulos. Vamos estudar um desses, para um quadrado de lado igual a 1.
Perceba que, em triângulos como esse, os catetos possuem valores iguais. Então, seguimos o estudo substituindo ca = co = 1. Ao mesmo tempo, está definido que a diagonal de um quadrado é igual a L.√2, por isso, nesse caso, a hipotenusa é igual a 1.√2 ⇒ hipotenusa = √2,
seno 45º = cateto oposto / hipotenusa = 1/√2 ⇒ sen 45º = √2/2
cosseno 45º = cateto adjacente / hipotenusa = 1/√2 ⇒ cos 45º = √2/2
tangente 45º = cateto oposto / cateto adjacente = √2/√2 ⇒ tg 45º = 1
+ Veja também: Arcos e ângulos: o que são, circunferência e como medir
Outros ângulos importantes
Por fim, conheça também outros ângulos importantes e seus valores de seno e cosseno:
| sen | cos | |
| 0º | 0 | 1 |
| 90º | 1 | 0 |
| 180º | 0 | -1 |
| 270º | -1 | 0 |
Questão de vestibular sobre ângulos notáveis
(Enem/2010)
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8km
b) 1,9km
c) 3,1km
d) 3,7km
e) 5,5km
Considera-se que a altura do balão é o cateto oposto para o ângulo de 60º, com cateto adjacente de 1,8km. Ao mesmo tempo, é também cateto oposto de 30º, quando o cateto adjacente mede 1,8 + 3,7 km.
A partir disso, vamos utilizar as razões trigonométricas dos ângulos notáveis e descobrir a altura de queda.
tg 60º = √3
tangente 60º = cateto oposto / cateto adjacente
√3 = altura / 1,8
√3.1,8 = altura
altura = 3,11 km
tg 30º = √3/3
tangente 30º = cateto oposto / cateto adjacente
√3/3 = altura / 1,8 + 3,7
√3/3 = altura / 5,5
5,5 . (√3/3) = altura
altura ≃ 3,1 km
Note que o conhecimento sobre o valor da tangente de pelo menos um dos ângulos notáveis seria suficiente para responder a questão com a alternativa correta, a letra C.
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