Uma função bijetora é uma ferramenta matemática que transforma cada elemento de um conjunto domínio A em um elemento diferente do conjunto contradomínio B. Conheça mais sobre o tema lendo este artigo.
Serão abordadas as definições principais sobre função bijetora, com uma representação esquemática que facilita a compreensão. Além disso, explore exemplos e gráficos que demonstram esse tipo de cálculo, que costuma cair direta ou indiretamente em questões de vestibulares. Por falar nisso, não deixe de conferir a resolução de exercícios sobre o assunto!
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Definição de função bijetora
A função bijetora é definida pela existência de um conjunto domínio X qualquer, que possui um número n de elementos. Depois do cálculo definido pela função, todos os n elementos se transformam em n diferentes valores, que estão contidos no conjunto contradomínio Y.
Isso significa que cada elemento do conjunto X está relacionado com um elemento diferente do conjunto Y. No diagrama de venn abaixo, você pode observar que cada ponto em A possui apenas uma seta, relacionada com outro ponto de B, que também recebe apenas uma única flecha.
Antes de prosseguir, vamos rememorar alguns conceitos essenciais para o completo entendimento do assunto.
+ Veja também: Conjuntos: como os números são agrupados e qual a importância
O que é função?
Uma função é um cálculo matemático que transforma elementos x, de um conjunto A, em resultados de valor y, presentes em outro conjunto numérico B. A notação matemática para isso é dada por f: A → B, e a função é definida por uma expressão algébrica, como em f(x)= ax+b.
Domínio e contradomínio
O domínio da função é o conjunto dos números reais que podem ser substituídos por x, de forma que o resultado cálculo seja real e válido. No caso de f: A → B, o domínio é o conjunto A, de onde são extraídos os valores de x.
Nesse mesmo sentido, o contradomínio é o conjunto de todos os resultados possíveis para aquele cálculo. Isso indica que, se todos os valores de x forem substituídos na equação, todos os resultados encontrados formam o contradomínio dessa função. No exemplo acima (f: A → B), o contradomínio é o conjunto B.
Por que função bijetora?
O nome “bijetora” não existe à toa, na verdade ele indica que essa classificação abrange duas outras classes de funções, como pode-se notar com prefixo bi-. Essas outras divisões são injetora e sobrejetora, que estão resumidas abaixo.
A função injetora é aquela em que todo elemento x do domínio A é capaz de gerar resultados diferentes, contidos em B. Ao mesmo tempo, todos os valores obtidos pela função estão inseridos no contradomínio.
No diagrama apresentado acima, você pode perceber que cada elemento de X se conecta com um valor diferente em Y. Ao mesmo tempo, note que todos os resultados de f: X → Y estão contidos em Y.
Apesar disso, em uma função injetora, não é necessário que todos os elementos do contradomínio sejam obtidos como resposta. Por essa razão, o diagrama mostra o elemento C, que não é apontado por nenhuma seta.
Já a função sobrejetora é aquela em que todos os elementos do contradomínio estão relacionados, obrigatoriamente, com algum elemento do domínio. De certa forma, não importa se um mesmo y se ligada a dois x diferentes, o importante é que o contradomínio está todo apontado por setas.
Na imagem acima, os três elementos do conjunto B estão relacionados com X,Y, Z e W, independentemente de que X e Y resultam no mesmo valor (1).
Por fim, a questão é a que a função bijetora é exatamente a junção entre os conceitos de injeção e sobrejeção, ou seja: é um cálculo em que cada elemento do domínio se liga a um valor diferente do contradomínio, ao mesmo tempo em que todos os elementos do contradomínio estão ligados.
Gráfico da função bijetora
Se na função bijetora cada valor de x se relaciona com apenas um y, o gráfico traçado no plano cartesiano deve possuir apenas uma ordenada (x,y) para cada x e para cada y.
Para analisar essa informação, pode-se traçar várias retas paralelas ao eixo x. Todas devem cruzar o desenho da função em apenas um ponto. Caso uma mesma reta seja interceptada por duas porções diferentes de f(x), a função não será bijetora. Observe esses conceitos na imagem abaixo.
Lembre-se que, apenas com o gráfico é possível fazer uma previsão sobre a classificação dessa função como bijetora. Mas a melhor maneira de dividir e interpretar gráficos é também analisar as leis de formações e cálculos envolvidos na construção do traçado.
Exemplo de função bijetora
Uma função claramente bijetora é f(x) = 5x, como a lei de formação indica a multiplicação de x, sabemos que não existem números diferentes que multiplicados por 5 resultem em valores iguais. Ao mesmo tempo, qualquer valor de x adicionado resultará em um y válido.
No gráfico dessa função note que cada linha paralela se relaciona com apenas um ponto do traçado, o que reforça a ideia de que trata-se de uma função bijetora.
Questão sobre função bijetora
(ESA — Escola de Sargentos das Armas) Com relação às funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras podemos afirmar que:
A) Se, é injetora e não é sobrejetora, então ela é bijetora.
B) Se, é sobrejetora, então ele é injetora.
C) Se, é injetora, e sobrejetora, então ele é bijetora.
D) Se, é injetora, então ele é sobrejetora
E) Se, é sobrejetora e não é injetora, então ela é bijetora
A é falsa porque uma função bijetora é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.
B está errada porque uma função pode ser sobrejetora e não ser injetora.
C é a alternativa correta porque uma função bijetiva é sobrejetora e injetora, simultaneamente.
D é incorreta, já que uma função injetora não precisa, necessariamente, ser sobrejetora.
E não é verdadeira pois uma função bijetora é, obrigatoriamente, injetora e sobrejetora.
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