A função exponencial acontece quando a incógnita de um cálculo matemático está no expoente. Dessa forma, seu comportamento gráfico e as formas de resolver dependem do conhecimento a respeito de logaritmos, exponenciação, potenciação, radiciação e etc.
Conheça, agora, os conceitos de função exponencial, como é construído e qual o desenho do gráfico desses cálculos. Depois, veja a resolução de uma questão do Enem e trata sobre esse tema. Vamos lá?
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O que é a função exponencial?
Uma função é considerada exponencial quando ela possui uma base com valores positivos maiores do que zero e diferentes de um, em que o expoente é um incógnita, como em f(x) = 4x. Assim, a estrutura geral desse tipo de função será tal que f(x) = ax, de forma que a pertence ao conjunto dos números reais, a>0 e a≠1.Tais regras são baseadas em princípios das potenciação.]
A multiplicação de zero por ele mesmo sempre será igual a zero, então o cálculo não seria válido. Ao mesmo tempo, quando 1 é elevado a qualquer expoente, o resultado será 1 (1.1.1.1.1.1 = 1). Então, a função seria uma constante. Ao mesmo tempo, no conjunto dos números reais, não é possível determinar a radiciação de números negativos. É isso que restringe o valor de a, que deve ser sempre positivo.
Classificações da função
Função exponencial crescente
Uma função exponencial crescente acontece quando a base é um número real maior do que 1. Isso significa que, quanto maior o valor da incógnita no expoente, maior será o resultado da função.
Por exemplo, a função f(x) = 2x, seria um função exponencial crescente, já que 2>1. Na aplicação, podemos atribuir valores diferentes ao x, para entender seu padrão de crescimento. Na tabela abaixo nota-se que um pequeno crescimento no valor da incógnita x é suficiente para uma grande evolução de y — uma característica essencial dos cálculos exponenciais.
| x | Função f(x) = 2x | y |
| 1 | f(1) = 21 | 2 |
| 2 | f(2) = 22 | 4 |
| 3 | f(3) = 23 | 8 |
| 4 | f(4) = 24 | 16 |
| 5 | f(5) = 25 | 32 |
| 9 | f(9) = 29 | 512 |
Função exponencial decrescente
Quando a base está entre os valores de 0 e 1 (0<a<1), considera-se que é uma função exponencial decrescente. Na prática, indica que, quanto maior o valor de x, menor será o resultado obtido em y.
Note que um valor que está no intervalo entre 0 e 1, será sempre fracionário, isso explica a característica da função,afinal, multiplicar valores fracionários entre si, resulta na diminuição entre eles. Por exemplo, 0,800.0,800 = 0,640, veja que 0,640 é um número menor do que aqueles que estão nos fatores da multiplicação.
Vamos aplicar a tabela utilizada no exemplo anterior, para entender a função exponencial decrescente. Para isso, usaremos como base a função f(x) = 0,2x.
| x | Função f(x) = 0,2x | y |
| 1 | f(1) = 0,21 | 0,2 |
| 2 | f(2) = 0,22 | 0,04 |
| 3 | f(3) = 0,23 | 0,008 |
| 4 | f(4) = 0,24 | 0,0016 |
| 5 | f(5) = 0,25 | 0,00032 |
| 9 | f(9) = 0,29 | 0,000000512 |
Observe como o número de zeros após a vírgula aumenta gradativamente, o que torna o número cada vez menor. Assim, quanto maior o valor de x, menor é o valor encontrado como resultado da função exponencial decrescente.
Gráfico da função exponencial
O gráfico de uma função exponencial deve ser construído da mesma forma que todas as outras equações matemáticas: a incógnita x é substituída por um número e o resultado é chamado de y. Dessa forma, encontra-se um ponto no plano cartesiano.
Quando essas etapas são feitas em sequências, para diferentes valores de x, é possível construir um risco que liga todos os pontos e esse é o gráfico da função. No caso da exponencial, o desenho será uma curva.
Algumas características são notadas no gráfico da função exponencial. Por exemplo, como todo número elevado a zero é igual a 1, é fato que todos gráficos possuirão o ponto (0,1). Inclusive, note que todo número elevado a 1 será igual a ele mesmo, então, o ponto em que x=1 terá, obrigatoriamente, um y=a (1,a).
Simultaneamente, sabemos que o valor da base nunca será 0 e uma exponenciação não pode resultar nesse valor. Então, não existem pontos com y=0, de forma que o gráfico nunca toca o eixo x do plano cartesiano.
Além disso, a classificação da função deve ser considerada ao analisar o gráfico de uma função exponencial. As funções crescentes terão uma curva que se inclina para a direita e para cima, como é demonstrado na imagem abaixo.
No caso das funções exponenciais decrescentes, observa-se que a curva está em sentido de queda, rampa. Ou seja, é mais alta na porção esquerda e decai conforme se aproxima do eixo y, como é demonstrado na figura abaixo.
É importante destacar ainda, que no caso das funções crescentes, quanto maior for o valor de a, maior a inclinação da curva e mais rápida sua aproximação ao eixo y. Por outro lado, quanto menor o valor da base nas funções exponenciais decrescentes, maior a inclinação e a proximidade do traçado com o y=0.
A imagem acima mostra uma comparação entre o gráfico de funções crescentes e decrescentes. É possível observar que o posicionamento da curva é diferente, quanto à sua inclinação, conforme foi mencionado anteriormente.
Além disso, é possível comparar também as funções f(x)=2x e f(x)=4x. Veja como o gráfico em verde tem uma curvatura mais acentuada e brusca, quando relacionada com o traçado em azul. Isso demonstra que o valor da base influencia no comportamento do desenho. Veja também que ¼ é menor do que ½, o que justifica o fato da curva em rosa fúcsia estar mais inclinada e próxima do eixo y.
Questão do Enem sobre função exponencial
O crescimento de uma população de microrganismos é descrito pela expressão K(t) = 81.3(t/3) + 2, em que K(t) indica a quantidade de microrganismos em um meio de cultura em função do tempo t. O gráfico representa a evolução de K em relação ao tempo t.
Com base nos dados, o valor de m é:
a) 4/3
b) 7/5
c) 24/5
d) 12
e) 81
A expressão fornecida pelo enunciado tem como incógnita o tempo t. Agora, basta igualar o valor de y no cálculo matemático para encontrar esse valor.
K(t) = 81.3(t/3) + 2
6563 = 81.3(t/3) + 2
6563 – 2 = 81.3(t/3)
6561 = 81.3(t/3)
6561/81 = 3(t/3)
81 = 3(t/3)
Neste tipo de exercício, é importante conhecer alguns resultados para potenciação e radiciação. Por exemplo, saber que 32 = 9 e que 92 = 81. Com a equivalência entre 32 = 9, pode-se substituir assim:
92 = 81
(32)2 = 81
34 = 81
Perceba, então, que 3(t/3) = 34. Isso indica que t/3 = 4, portanto, t = 4 .3, t=12, conforme aponta a alternativa D.
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