Função logarítmica: o que é, gráfico, questões 

Uma função logarítmica acontece quando a expressão matemática requer qual o valor do logaritmo de uma variável x, em uma base a. O traçado do gráfico, as formas de resolver e a compreensão do assunto dependem do conhecimento a respeito de exponenciação, potenciação, radiciação e etc. 

Conheça, neste artigo, os conceitos de função logarítmica, como é construído e qual o desenho do gráfico desses cálculos, quando são considerados crescentes ou decrescentes. Aproveite para acompanhar a resolução de questões de vestibulares sobre o tema.

O que é uma função logarítmica?

Uma função logarítmica pode ser definida por meio da expressão f(x) = log_ax. Para que essa equação seja válida, é necessário que a base a seja um número real positivo diferente de 1 (a ≠ 1). 

Para entender esse assunto, é importante revisar os conceitos e propriedades dos logaritmos. A definição principal é: log_a b = c. Essa expressão matemática deve ser lida como: “o logaritmo de b na base a é igual a c.”

a = base 

b = logaritmando 

c = logaritmo

Tendo como base as informações transmitidas acima a respeito de cada uma das letras, note e considere que o cálculo log_a b = c sinaliza que a^c =b. Ou seja, a base elevada ao valor do logaritmo é igual ao logaritmando. 

Domínio da função logarítmica

O domínio de uma função representa o conjunto de todos os valores que pode ser substituído pela variável x. Em alguns casos, há restrições. No caso das expressões logarítmicas, o x não poderá ser um número negativo. Assim, o conjunto domínio de uma função logarítmica será dado por todos os números reais positivos e diferentes de zero.

Essa descrição, entretanto, deve ser considerada em cada expressão matemática. Afinal, o valor total do logaritmando que precisa ser positivo e diferente de zero. Por exemplo, na função f(x) = log₃ (x+5), qual seria o domínio?

Como foi explicado anteriormente, o logaritmando nunca poderá ser 0 ou negativo, então, precisamos determinar quais valores fazem com que x+5 seja sempre positivo e diferente de zero. A melhor maneira de chegar a esse resultado é com uma inequação:

x + 5 > 0 

x > -5 

Isso significa que, para todo x maior do que -5, a função logarítmica é válida e, por isso, o domínio de f(x) é D_f = { x є lR | x > -5 } 

Classificação da função logarítmica 

A função logarítmica pode ser classificada como crescente ou decrescente, a depender do valor da base encontrada na expressão:

• Quando a>1, a função é crescente e quanto mais o valor de x aumenta, maior também será o resultado y; ou
• Quando 0<a<1, ou seja, a está entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente. Isso indica que o aumento do valor da variável x determina uma redução no resultado y. 

Vamos testar essas informações com uma tabela que compare ambos os casos:

Note que na coluna do meio, em que a>1, o aumento do x está relacionado com o aumento do y, que começa em um e termina a tabela em 4. Ao mesmo tempo, no último exemplo, o aumento do x está fazendo com que o valor de y fique gradativamente mais negativo, o que caracteriza a função decrescente com 0<a<1.

Gráfico da função logarítmica

O primeiro ponto a ser notado em uma função logarítmica é que o valor do logaritmando só poderá ser positivo. Então, nas expressões em que o x for o próprio logaritmando, o gráfico não atravessa o II e III quadrantes. Por outro lado, quando o logaritmando é uma outra expressão matemática, é preciso entender quais valores de x o tornam positivo e maior do que zero.

Depois disso, é importante relembrar que todo número elevado a 0 é igual a 1. Isso significa que toda vez que o x=1, o y=0. Assim, em uma função logarítmica que segue a lei de formação f(x) = log_a x, sempre haverá um ponto com as coordenadas (1,0). 

Perceba, ainda, que o valor de x nunca poderá ser zero, então, o gráfico da função nunca toca o eixo y. Na imagem abaixo, você pode observar que o traçado tende a ficar cada vez mais próximo desse eixo, comportamento que é conhecido como “assíntota”, porque parece que vai tocar, mas nunca consegue tocar de fato.

Agora, vamos entender como se comportam as curvas quanto à ser crescente ou decrescente. Na imagem abaixo, observe que os traçados vermelho, verde e azul estão se direcionando para cima e para a direita, formando uma espécie de “morro”. Esse é o comportamento de uma função logarítmica crescente, que aumenta seu y e seu x simultaneamente. 

Por outro lado, perceba que a curva em azul ciano tem um formato de rampa. Nesse caso, a cada vez que o x aumenta, menor fica o valor de y. É assim que aparenta o gráfico de uma função logarítmica decrescente. Nesse caso f(x) = log_1/2 x.

Por fim, saiba que a função inversa de da logarítmica é a exponencial, quando a incógnita fica no expoente da equação, como em f(x) = a^x. Nesse caso, o ponto obrigatório do gráfico será (0,1), já que todo número elevado a 0 é igual a 1.

+ Veja mais: Radiciação: o que é, propriedades, potências e exemplos

Questões de vestibulares

(PUC-MG) De acordo com pesquisa feita na última década do século XX, a expectativa de vida em certa região é dada, em anos, pela função E(t) = 12.(150 log(t) – 491), sendo t o ano de nascimento da pessoa. Considerando-se log 2000 = 3,32, uma pessoa dessa região que tenha nascido no ano 2000 tem expectativa de viver:

A) 68 anos
B) 76 anos
C) 84 anos
D) 92 anos

Conforme o enunciado t é o ano de nascimento da pessoa, e portanto t=2000 deve ser substituído na expressão matemática:

E(t) = 12.(150.log(t) – 491)
E(t) = 12.(150.log(2000) – 491)

As informações fornecidas permitem dizer que log 2000 = 3,32, então:

E(t) = 12.(150.3,32 – 491)
E(t) = 12.(498 – 491)
E(t) = 12.(7)
E(t) = 84 anos, como está apontado na alternativa C.

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