Uma função logarítmica acontece quando a expressão matemática requer qual o valor do logaritmo de uma variável x, em uma base a. O traçado do gráfico, as formas de resolver e a compreensão do assunto dependem do conhecimento a respeito de exponenciação, potenciação, radiciação e etc.
Conheça, neste artigo, os conceitos de função logarítmica, como é construído e qual o desenho do gráfico desses cálculos, quando são considerados crescentes ou decrescentes. Aproveite para acompanhar a resolução de questões de vestibulares sobre o tema.
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O que é uma função logarítmica?
Uma função logarítmica pode ser definida por meio da expressão f(x) = logax. Para que essa equação seja válida, é necessário que a base a seja um número real positivo diferente de 1 (a ≠ 1).
Para entender esse assunto, é importante revisar os conceitos e propriedades dos logaritmos. A definição principal é: loga b = c. Essa expressão matemática deve ser lida como: “o logaritmo de b na base a é igual a c.”
a = base
b = logaritmando
c = logaritmo
Tendo como base as informações transmitidas acima a respeito de cada uma das letras, note e considere que o cálculo loga b = c sinaliza que ac =b. Ou seja, a base elevada ao valor do logaritmo é igual ao logaritmando.
Domínio da função logarítmica
O domínio de uma função representa o conjunto de todos os valores que pode ser substituído pela variável x. Em alguns casos, há restrições. No caso das expressões logarítmicas, o x não poderá ser um número negativo. Assim, o conjunto domínio de uma função logarítmica será dado por todos os números reais positivos e diferentes de zero.
Essa descrição, entretanto, deve ser considerada em cada expressão matemática. Afinal, o valor total do logaritmando que precisa ser positivo e diferente de zero. Por exemplo, na função f(x) = log3 (x+5), qual seria o domínio?
Como foi explicado anteriormente, o logaritmando nunca poderá ser 0 ou negativo, então, precisamos determinar quais valores fazem com que x+5 seja sempre positivo e diferente de zero. A melhor maneira de chegar a esse resultado é com uma inequação:
x + 5 > 0
x > -5
Isso significa que, para todo x maior do que -5, a função logarítmica é válida e, por isso, o domínio de f(x) é Df = { x є lR | x > -5 }
Classificação da função logarítmica
A função logarítmica pode ser classificada como crescente ou decrescente, a depender do valor da base encontrada na expressão:
- Quando a>1, a função é crescente e quanto mais o valor de x aumenta, maior também será o resultado y; ou
- Quando 0<a<1, ou seja, a está entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente. Isso indica que o aumento do valor da variável x determina uma redução no resultado y.
Vamos testar essas informações com uma tabela que compare ambos os casos:
| Variável x | f(x) = log4 x | f(x) = log 1/2 x |
| 4 | f(4) = log4 4 = 1 | f(4) = log 1/2 4 = – 2 |
| 16 | f(16) = log4 16 = 2 | f(16) = log 1/2 16 = – 4 |
| 64 | f64) = log4 64 = 3 | f(64) = log 1/2 64 = – 6 |
| 128 | f(128) = log4 256 = 4 | f(256) = log 1/2 256 = – 8 |
Note que na coluna do meio, em que a>1, o aumento do x está relacionado com o aumento do y, que começa em um e termina a tabela em 4. Ao mesmo tempo, no último exemplo, o aumento do x está fazendo com que o valor de y fique gradativamente mais negativo, o que caracteriza a função decrescente com 0<a<1.
Gráfico da função logarítmica
O primeiro ponto a ser notado em uma função logarítmica é que o valor do logaritmando só poderá ser positivo. Então, nas expressões em que o x for o próprio logaritmando, o gráfico não atravessa o II e III quadrantes. Por outro lado, quando o logaritmando é uma outra expressão matemática, é preciso entender quais valores de x o tornam positivo e maior do que zero.
Depois disso, é importante relembrar que todo número elevado a 0 é igual a 1. Isso significa que toda vez que o x=1, o y=0. Assim, em uma função logarítmica que segue a lei de formação f(x) = loga x, sempre haverá um ponto com as coordenadas (1,0).
Perceba, ainda, que o valor de x nunca poderá ser zero, então, o gráfico da função nunca toca o eixo y. Na imagem abaixo, você pode observar que o traçado tende a ficar cada vez mais próximo desse eixo, comportamento que é conhecido como “assíntota”, porque parece que vai tocar, mas nunca consegue tocar de fato.
Agora, vamos entender como se comportam as curvas quanto à ser crescente ou decrescente. Na imagem abaixo, observe que os traçados vermelho, verde e azul estão se direcionando para cima e para a direita, formando uma espécie de “morro”. Esse é o comportamento de uma função logarítmica crescente, que aumenta seu y e seu x simultaneamente.
Por outro lado, perceba que a curva em azul ciano tem um formato de rampa. Nesse caso, a cada vez que o x aumenta, menor fica o valor de y. É assim que aparenta o gráfico de uma função logarítmica decrescente. Nesse caso f(x) = log1/2 x.
Por fim, saiba que a função inversa de da logarítmica é a exponencial, quando a incógnita fica no expoente da equação, como em f(x) = ax. Nesse caso, o ponto obrigatório do gráfico será (0,1), já que todo número elevado a 0 é igual a 1.
+ Veja mais: Radiciação: o que é, propriedades, potências e exemplos
Questões de vestibulares
(PUC-MG) De acordo com pesquisa feita na última década do século XX, a expectativa de vida em certa região é dada, em anos, pela função E(t) = 12.(150 log(t) – 491), sendo t o ano de nascimento da pessoa. Considerando-se log 2000 = 3,32, uma pessoa dessa região que tenha nascido no ano 2000 tem expectativa de viver:
A) 68 anos
B) 76 anos
C) 84 anos
D) 92 anos
Conforme o enunciado t é o ano de nascimento da pessoa, e portanto t=2000 deve ser substituído na expressão matemática:
E(t) = 12.(150.log(t) – 491)
E(t) = 12.(150.log(2000) – 491)
As informações fornecidas permitem dizer que log 2000 = 3,32, então:
E(t) = 12.(150.3,32 – 491)
E(t) = 12.(498 – 491)
E(t) = 12.(7)
E(t) = 84 anos, como está apontado na alternativa C.
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