O teorema de Pitágoras está entre os cálculos mais importantes do estudo geométrico. Trata-se de uma fórmula matemática que relaciona os lados de um triângulo retângulo. A partir disso, é possível encontrar o valor de um desses segmentos, compreender a distância entre pontos e até mesmo pode ser utilizado para calcular unidades vetoriais, na física.
Com os usos apresentados anteriormente, além de muitos outros, fica evidente que o teorema de Pitágoras é um conhecimento essencial para o dia a dia. Por essa razão, muitas provas de vestibulares cobram que os alunos dominem o tema. Neste artigo, você poderá aprender a fórmula, usos e conceitos associados a essa ferramenta da geometria. Vamos estudar?
Navegue pelo conteúdo
Conceitos no teorema de Pitágoras
Antes de apresentar a fórmula do teorema de Pitágoras, é importante entender os conceitos geométricos que devem ser aplicados. Afinal, para desenvolver o cálculo, os lados do triângulo assumem uma nova nomenclatura. Acompanhe.
Dado um triângulo retângulo qualquer, é importante reconhecer onde está localizado o ângulo reto. Na representação padrão, ele estará sinalizado com um quadrado entre as arestas da figura geométrica e o ângulo, como mostra a figura abaixo.
Encontrado esse ângulo de 90º, observe qual é o lado do triângulo que não constitui esse vértice. Ou seja, aquela aresta que está imediatamente oposta ao ângulo reto. Na geometria pitagórica, esse lado será chamado de hipotenusa. A hipotenusa de um triângulo é um conceito fixo, porque estará sempre afastada do ângulo ortogonal.
Depois de definida a hipotenusa, os outros dois lados do triângulo serão chamados de catetos. O nome cateto é um fixo, já que eles estarão sempre em contato com o ângulo reto. Por outro lado, eles podem ser classificados em cateto adjacente ou cateto oposto.
Essa classificação só é válida quando estamos analisando um dos ângulos agudos do triângulo. A aresta que fica imediatamente oposta a essa abertura será chamada de cateto oposto. Ao mesmo tempo, o lado que, junto com a hipotenusa, forma o ângulo, é chamado de cateto adjacente. Note, ainda, que esse conceito é relativo, porque, a depender do referencial, um cateto pode ser adjacente ou oposto.
Fórmula do teorema de pitágoras
A partir de conhecimentos a respeito dos ângulos, catetos e hipotenusas foi criado o teorema de Pitágoras. A fórmula representa a hipotenusa pela letra a, enquanto que os catetos são a e b. Matematicamente, ela será descrita como:
a2 = b2 + c2
Assim, ela pode ser enunciada como “o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.
Aplicação do teorema
O teorema de Pitágoras pode ser útil para encontrar o valor da hipotenusa ou de um dos catetos de um triângulo retângulo. Além disso, observe que muitas figuras geométricas possuem ângulos retângulos e isso permite, de certa forma, calcular diagonais, distância entre vértices e muitas outras características. Acompanhe os exemplos, com base em questões de vestibulares.
Questão sobre teorema de Pitágoras
Enem 2014
Diariamente, uma residência consome 20.160Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo?
A) Retirar 16 células.
B) Retirar 40 células.
C) Acrescentar 5 células.
D) Acrescentar 20 células.
E) Acrescentar 40 células.
Primeiramente, vamos organizar todas as informações do enunciado, para facilitar a resolução do problema:
Consumo total: 20.160 Wh/dia
Células solares: 100 células retangulares, com lados de 6 cm e 8 cm
Cada centímetro de diagonal da célula produz 24Wh
Perceba que toda a questão gira em torno de saber quandos Wh uma célula é capaz de produzir. Esse valor está relacionado com o tamanho da diagonal dessas células. Nesse caso, vamos desenhar esses retângulos conforme estão descritos no enunciado:
Para determinar a diagonal, então, devemos unir o vértice superior direito com o vértice inferior esquerdo. Perceba que essa ação determina um triângulo retângulo, com catetos de medida igual a 6 cm e 8 cm. Assim, basta descobrir o valor da hipotenusa, que é exatamente a diagonal do retângulo.
Agora, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, de forma que:
a = diagonal = ?
b = 6 cm
c = 8 cm
a2 = b2 + c2
a2 = 62 + 82
a2 = 36 + 64
a2 = 100
a = 10 cm
Cada célula produz exatamente o tamanho da diagonal multiplicado por 24Wh. Nesse caso, então: 10.24 = 240 Wh.
Agora, qual seria o necessário para suprir exatamente o consumo dessa casa?
consumo total / produção de uma única célula = número de células necessárias
20160 / 240 = número de células necessárias
84 = número de células necessárias
Dessa forma, ele possui 100 – 84 = 16 células a mais em seu sistema solar. Por isso, deve retirar 16 células, como aponta a alternativa A.
Note como, com o teorema de Pitágoras e operações de multiplicação e divisão, foi possível resolver um exercício do Enem!
+ Veja também: Ângulos notáveis: tabela, demonstração, dicas e questões
Questão sobre teorema de Pitágoras
IFRS 2016 (adaptada)
Na figura abaixo, qual o valor de x e y, respectivamente?
O primeiro passo é perceber que existem três triângulos nessa questão e dois deles são retângulos.
TRETÂNGULO A = catetos de 4 cm e hipotenusa x
TRETÂNGULO B = cateto de 4 cm, cateto de 4 + 5 cm e hipotenusa y
A partir disso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para o TRETÂNGULO A:
cateto2 + cateto2= hipotenusa2
42 + 42 = x2
16 + 16 = x2
32 = x2
√32 = x
√16.2 = x
√4.4.2 = x
4√2 = x
Para o TRETÂNGULO B:
cateto2 + cateto2= hipotenusa2
42 + (4+5)2 = y2
16 + 92 = y2
16 + 81 = y2
97 = y2
√97 = y
Não há como fatorar √97, pois trata-se de um número primo. Então, x = 4√2 e y = √97.
Veja também: Área de triângulo: como calcular área de figuras de forma simples
Estude com o Estratégia Vestibulares!
Acompanhe o canal do Youtube da Coruja: lá você encontra aulas de revisão importantes para reforçar seu aprendizado.
O Estratégia Vestibulares está sempre inovando para facilitar o seu aprendizado. Por meio do Livro Digital Interativo é possível estudar as teorias, desenvolver questões de vestibulares e assistir videoaulas didáticas, criar resumos e, com isso, impulsionar seus estudos. Clique no banner e saiba mais!
