Questões de Geometria Plana das últimas edições da Fuvest

A Geometria Plana estuda figuras que não possuem volume e envolve conceitos como ponto, reta, segmento de reta, ângulos, perímetro, área e outros mais. Dentre as principais figuras estão triângulo, quadrado, retângulo, círculo e losango.

A Geometria Plana constitui um pilar fundamental nas provas de matemática da Fuvest, exigindo que o candidato domine conceitos espaciais e saiba aplicá-los em problemas práticos. 

O estudo dessas questões ajuda a desenvolver um raciocínio lógico apurado e a capacidade de interpretação de problemas complexos. Revisar esses conteúdos é, portanto, uma estratégia essencial para garantir um desempenho sólido, unindo a base teórica a cenários desafiadores e aplicados. 

O Portal Estratégia Vestibulares compilou algumas resoluções detalhadas de questões aplicadas em edições recentes do vestibular Fuvest, abrangendo tópicos essenciais como cálculo de áreas, semelhanças de figuras e trigonometria. As resoluções completas em vídeo você encontra em nosso Banco de Questões!

9 questões de Geometria Plana que caíram nas últimas edições do Vestibular USP

Veja, a seguir, algumas das questões de geometria plana presentes nas últimas edições da Fuvest com resolução em texto e treine seu conhecimento no assunto agora mesmo.

Fuvest (2024) (1ª fase)

No Código de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo, encontra-se a regulamentação para vagas de estacionamento em um edifício para diferentes tipos de veículos. De acordo com o código, as dimensões de uma vaga de estacionamento são estabelecidas de acordo com o tipo de veículo, conforme a seguinte tabela:

Tabela: Dimensões das vagas de estacionamento em função do tipo de veículo (medidas em metros).

Código de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo. Adaptado.

Na figura a seguir, é apresentada parte de um projeto de garagem para um edifício. Foram projetadas vagas para automóveis e uma vaga para moto, no formato de paralelogramo, com ângulo α de medida 60°.

Observação: A imagem não está em escala.

Após a vaga da moto, restou um espaço na garagem. Os responsáveis pela obra estão avaliando a possibilidade de colocar algum objeto que possa ser utilizado pelos condôminos do edifício. Qual a medida do segmento destacado (tracejado) nesse espaço?

A 0,75 m
B 1,15 m
C 1,25 m
D 2,20 m
E 2,25 m

Resposta:

Observando o esquema do estacionamento, com as medidas indicadas no quadro, temos:

Note a formação de um triângulo retângulo de hipotenusa 4,5m e um dos catetos medindo (1 + 𝑥)m, onde x é a medida do segmento pedido na questão. 

Perceba, ainda, que o ângulo também está presente no triângulo retângulo formado, pois as medidas de 4,5m são todas paralelas (teorema de tales).

Dessa forma, podemos aplicar a razão cosseno, para =60°, a fim de encontrarmos o valor da medida x:

Alternativa correta: C

Fuvest (2024) (1ª fase)

Números figurados são números que expressam o total de pontos em certas configurações geométricas. Um exemplo de números figurados são os triangulares, os quais são números naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um triângulo. Os quatro primeiros números triangulares estão ilustrados na figura I. Apesar de o número 1 não representar um triângulo, ele é considerado um número triangular.

Figura I

Outro exemplo de número figurado é o número oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o número de colunas é uma unidade a mais do que o número de linhas. Os quatro primeiros números oblongos estão ilustrados na figura II. Apesar de o número 2 não representar um quadro retangular, ele é considerado um número oblongo.

Figura II

A respeito de números triangulares e números oblongos, assinale a alternativa correta.

A 162 é o 15º número triangular.
B O 13º número triangular é primo e o 30º número oblongo é ímpar.
C 156 não é um número oblongo, nem triangular.
D 210 é um número triangular e oblongo.
E A diferença entre dois números triangulares consecutivos são termos de uma progressão geométrica.

Resposta:

Os números triângulos sempre possuem “n” bolinhas na base, na posição n:

Já os números oblongos possuem “n” linhas e “(n + 1)” colunas, na etapa n:

Assim, podemos analisar cada alternativa:

(A) 162 é o 15º número triangular.

Falsa, pois quando n=15, temos um número de bolinhas que resulta da soma dos termos de uma PA, cujo primeiro termo é 1 e o último é 15:

(B) O 13º número triangular é primo e o 30º número oblongo é ímpar.

Falsa, pois quando n=13, temos um número de bolinhas que resulta da soma dos termos de uma PA, cujo primeiro termo é 1 e o último é 13:

(C) 156 não é um número oblongo, nem triangular.

Falsa. Embora não seja triangular, pois podemos igualar a fórmula do número triangular com 156:

O número 156 é oblongo, veja:

n(n + 1) = 156

n² + n – 156 = 0

(possui n = 12, como raiz inteira)

(D) 210 é um número triangular e oblongo.

Verdadeira.

Verificando se é triangular:

 = 210

n² + n – 420 = 0 

(possui n = 20, como raiz inteira)

Verificando se é oblongo:

n(n + 1) = 210

n² + n – 210 = 0

(possui n=14, como raiz inteira)

(E) A diferença entre dois números triangulares consecutivos são termos de uma progressão geométrica.

Falsa. As diferenças formam uma progressão aritmética de razão 1.

(2, 3, 4, 5 …)

Alternativa correta: D

Fuvest (2021) (1ª fase)

Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12 cm e 35 cm. A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo. A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de

A 8,0 cm.
B 8,5 cm.
C 9,0 cm.
D 9,5 cm.
E 10,0 cm.

Resposta:

Representando o maior quadrado inscrito no triângulo retângulo mencionado, temos:

Note que o triângulo acima do quadrado e o triângulo à direita do quadrado são semelhantes.

Utilizando a proporção para os lados homólogos desses dois triângulos menores, temos:

𝟒𝟐𝟎 − 𝟑𝟓𝒙 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝒙² = 𝒙² 

− 𝟒𝟕𝒙 = − 𝟒𝟐𝟎

𝒙 ≅ 𝟖, 𝟗𝟒

Ou seja, um valor próximo de 9 𝑐𝑚.

Alternativa correta: C

Fuvest (2021) (1ª fase)

Na figura, os segmentos AC e DE são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento CD; o ponto B pertence ao segmento AC; F é o ponto médio do segmento AB; e ABE é um triângulo equilátero. Além disso, o segmento BC mede 10 unidades de comprimento e o segmento AE mede 6 unidades de comprimento. A medida do seguimento DF, em unidades de comprimento, é igual a

A 14
B 15
C 16
D 17
E 18

Resposta:

Analisando a imagem, podemos encontrar o valor de DF (𝑥), através do Teorema de Pitágoras:

Note que um dos catetos (ℎ) equivale à altura do triângulo equilátero AEB, dessa forma:

Note ainda que FB vale 3, pois a altura do triângulo equilátero divide a base em dois segmentos iguais.

Por fim, aplicando Pitágoras:

𝟐𝟕 + 𝟏𝟔𝟗 = 𝒙²

𝒙² = 𝟏𝟗𝟔

𝒙 = 𝟏4

Alternativa correta: A

Fuvest (2020) (1ª fase)

Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa‐se θ ,a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando θ = 90º é A.

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2 , o valor de θ é, necessariamente, igual a

A 15°.
B 22,5°.
C 30°.
D 45°.
E 60°.

Fuvest (2019) (1ª fase)

Uma empresa estuda cobrir um vão entre dois prédios (com formato de paralelepípedos reto‐retângulos) que têm paredes laterais paralelas, instalando uma lona na forma de um quadrilátero, com pontas presas nos pontos A, B, C e D, conforme indicação da figura.

Sabendo que a lateral de um prédio tem 80 m de altura e 28 m de largura, que a lateral do outro prédio tem 60 m de altura e 20 m de largura e que essas duas paredes laterais distam 15 m uma da outra, a área total dessa lona seria de

A 300 m²
B 360 m²
C 600 m²
D 720 m²
E 1.200 m²

Resposta: 

Seja a altura h do trapézio ABCD, temos:

Pela proporção do triângulo retângulo 3, 4, 5, ℎ = 25

A área do trapézio será dada por: 

Alternativa correta: C

Fuvest (2017) (1ª fase)

Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento  AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente.

A área do triângulo AEF é igual a

A 24/25
B 29/30
C 61/60
D 16/15
E 23/20

Resposta:

Vamos montar o seguinte esquema

Vamos analisar a semelhança entre os triângulos 𝑁𝐹𝐶 e 𝐴𝐹𝐵

Assim

2/4 = (2−ℎ)/ℎ → ℎ = 43

Note que, como 𝑁 é ponto médio de 𝐷𝐶̅̅̅̅,temos que 𝐵𝑁 é bissetriz do ângulo 𝐵̂.Assim, temos mais uma semelhança de triângulos

𝐵𝑀/𝑦 = 𝐵𝐴/(4−𝑦) → 1/𝑦 = 4/(4−𝑦) → 𝑦 = 4/5

Assim, a área pedida é

Alternativa correta: D

Fuvest (2017) (1ª fase)

O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado  BC e BP = 1. Os pontos R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD, respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB.

Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo AR QT, do triângulo C Q P e do triângulo D Q S , para x variando no intervalo aberto ]0,3[, é

A 61/8
B 33/4
C 17/2
D 35/4
E 73/8

Resposta:

Vamos montar o seguinte esquema

A soma das áreas pedidas é

Logo, o valor da área máxima será

Alternativa correta: A

Fuvest (2017) (1ª fase)

O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4,  BC = 2 e BF = 2.

O seno do ângulo HÂF é igual a 

A 1 / 2√5
B 1 / √5
C 2 / √10
D 2 / √5
E 3 / √10

Resposta: 

Vamos analisar o esquema abaixo

Como queremos encontrar o valor do seno de 𝐻Â𝐹 = 𝜃, vamos usar a lei dos cossenos no triângulo 𝐻𝐴𝐹, encontrar o valor do cosseno e depois usaremos a relação fundamental da trigonometria para encontrarmos o valor do seno. Assim

Daí, temos que

𝒔𝒆𝒏²𝜽 + 𝒄𝒐𝒔²𝜽 = 𝟏 → 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟑/√𝟏𝟎

Alternativa correta: E

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