Na matemática, uma função inversa é um padrão matemático que consegue inverter a operação de uma outra função bijetora qualquer. Por exemplo, se a função original multiplica todos os valores de x por 2, a função inversa divide x por 2.
Neste artigo, você vai aprender quais tipos de funções podem admitir a operação inversa, além de relembrar os conceitos de domínio e contradomínio. Veja também a alteração que ocorre nos gráficos após a inversão e, depois, acompanhe a resolução comentada de questões de vestibulares sobre este tema. Vamos lá!
Navegue pelo conteúdo
Definição
A função inversa é aquela que pega o contradomínio de uma função e o transforma em domínio. Em termos práticos, é a transformação de y em x, Esse é o princípio inicial para encontrar a lei de formação da inversão.
Antes de continuar com a explicação sobre o tema, vamos recordar alguns conceitos básicos no estudo das funções matemáticas!
O domínio de uma função é o conjunto numérico que representa os elementos que podem substituir a incógnita x naquela expressão matemática, resultando em valores válidos. Como modelo, tome a a função f(x) = x.2, em que o domínio pode ser dado por qualquer número real, com infinitos resultados possíveis. Porém, se f(x) = 7/x, o domínio não pode incluir o 0, já que é impossível dividir por 0. Nesse caso, o domínio da função é representado pelo conjunto dos reais, exceto 0.
O contradomínio da função é o grupo de valores y que podem ser encontrados como resultado do cálculo. Na expressão f(x) = 3x2, y nunca poderá ser um valor negativo, já que não existe um número x que, elevado ao quadrado, resultem em y<0. Assim, o contradomínio são todos os valores reais positivos.
Outro tema importante para a compreensão das funções inversas é a classificação desses cálculos em relação a esses dois conjuntos. Afinal, uma função só admite inversão quando for classificada como bijetora.
Uma função bijetora é aquela possui características injetoras e sobrejetoras, ou seja:
- É injetora porque cada elemento do domínio se associa com um elemento diferente do contradomínio, ou seja, para cada x, existe um resultado y diferente; e
- Apresenta-se como sobrejetora porque todos os elementos do contradomínio podem ser encontrados a partir de um elemento do domínio. Ou seja, todo y pode ser respondido pela substituição de um x.
O diagrama de Venn abaixo representa uma função bijetora, o tipo funcional que pode admitir uma inversão.
Como a inversão de uma função é, exatamente, a transformação de seu contradomínio em domínio, o mesmo esquema pode representar a inversão de f(x). Note que, nessa primeira imagem os pares ordenados são (1,D), (2,B), (3,C), (4,A).
Na inversa, que é representada por f(x)-1, os pares ordenados serão (D,1), (B,2), (C,3), (A,4).
Por fim, a definição matemática que melhor representa a função inversa está descrita a seguir: seja uma função bijetora f(x), com f: A → B, sua inversa será dada por f(x)-1 com f: B → A.
+ Veja mais: Função injetora e sobrejetora: o que são, como entender, questões de vestibular
Como uma função inversa é determinada?
Para determinar a expressão matemática que representa uma função inversa, é necessário inverter as incógnitas na equação principal. Nesse procedimento, troca-se x por y e y por x, buscando isolar o y novamente.
A seguir, vamos resolver juntos uma questão da Escola de Especialistas de Aeronáutica que requer o desenvolvimento da lei de formação de uma função inversa, além de encontrar o valor para um dado x.
(EEAR) Seja a função f : R → R definida por f(x) = 4x – 3. Se f-1 é a função inversa de f, então f-1(5) é:
a) 17.
b) 1/17.
c) 2.
d) ½.
O primeiro passo para a resolução é trocar as incógnitas dentro da função principal:
f(x) = 4x – 3
y = 4x – 3
x = 4y – 3
Dentro dessa nova equação, vamos isolar o y, encontra a lei de formação de f-1:
x = 4y – 3
x + 3 = 4y
(x + 3)/4 = y
f(x)-1 = (x + 3)/4
O valor de f(5)-1 é dado pela substituição de x por 5 na expressão de f(x)-1:
f(x)-1 = (x + 3)/4
f(5)-1 = (5 + 3)/4
f(5)-1 = 8/4
f(5)-1 = 2, conforme alternativa C.
Gráfico de função inversa
O gráfico de uma função inversa é exatamente simétrico ao gráfico da função original. O eixo de simetria é a reta y=x, quando as ordenadas dos pontos de reta são iguais, por exemplo (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), … (20,20).
A animação abaixo retrata a formação desse tipo de gráfico, relacionando a função bijetora f(x)=x2 e sua inversa f(x)-1=√x.
+ Veja mais: Função modular: o que é, propriedades, exercícios de vestibulares
Função de Primeiro Grau: o que é e como aplicar em prova?
Função de Segundo Grau: o que é e como resolver questões
Questão de vestibular sobre função inversa
(UFPA) O gráfico de uma função f(x) = ax + b é uma reta que corta os eixos coordenados nos pontos (2, 0) e (0, -3). O valor de f (f -1(0)) é
a) 15/2
b) 0
c) –10/3
d) 10/3
e) –5/2
Este exercício apresenta certo grau de complexidade ao relacionar conhecimentos para encontrar a expressão matemática que representa f(x), determinar a lei de formação da inversa f(x)-1, além de adicionar conceito de função composta. Veja o passo a passo!
1) Encontrar a expressão algébrica que representa f(x), ao relacionar os pontos cartesianos que ela contém.
Para x=2, y=0, então:
f(x) = ax + b
0 = a.2 + b
Equação I: 2a + b = 0
Para x=0, y=-3, assim:
-3 = a.0 + b
Equação II: -3 = b
Substituindo a equação II na equação I, teremos:
2a + b = 0
-3 = b
2a – 3 = 0
2a = 3
a = 3/2 = 1,5
Como já sabemos o valor de b, então a f(x) = 1,5.x – 3.
2) Determinar a inversa, a partir da substituição de x por y, y por x e depois isolar o y:
f(x) = 1,5.x – 3
y = 1,5.x – 3
x = 1,5.y – 3
x + 3 = 1,5y
(x + 3) / 1,5 = y
f(x)-1 = (x + 3) / 1,5
3) Encontrar o valor de f -1(0):
f(x)-1 = (x + 3) / 1,5
f-1(0) = (0 + 3) / 1,5)
f-1(0) = 3 / 1,5
f-1(0) = 2
4) Resolver a função composta, ao substituir o valor de f -1(0) na incógnita de f(x) = 1,5.x – 3.
f (f -1(0)) = f (2)
f (2) = 1,5.2 – 3
f (2) = 3 – 3
f (2) = 0, conforme alternativa B.
Prepare-se para as provas com a Coruja!
Gosta de estudar observando a resolução de questões? No Estratégia Vestibulares, os alunos têm acesso a diversas questões inéditas comentadas por professores especialistas. Além disso, caso você não entenda algum passo, é possível tirar suas dúvidas em um fórum especializado. Não perca tempo, clique no banner e saiba mais!
Veja também:
- Equações: principais tipos, fórmulas e aplicações
- Função de Primeiro Grau: o que é e como aplicar em prova?
- Equação do primeiro grau: o que é, tipos, como resolver e questões
- Fatoração: o que é, como fazer, aplicações e questões de vestibulares
- Inequações: o que são, como resolver e questões
- Produtos notáveis: definição, fórmulas e aplicações
- Função de Segundo Grau: o que é e como resolver questões
- Equação do segundo grau: como resolver, fórmulas, exercícios de vestibulares
- Sistemas lineares: o que são, como resolver e aplicações
- Regra de sinais: o que é e como funciona o jogo de sinais
- Função modular: o que é, propriedades, exercícios de vestibulares
- Função injetora e sobrejetora: o que são, como entender, questões de vestibular
- Função composta: definição, esquema e exercícios resolvidos
