A matemática, além de ciência, é uma ferramenta essencial para a sociedade atual. Por meio dela são definidos dados sobre populações, estudos científicos, parâmetros econômicos e muito mais. Nesse sentido, as médias são um dos principais elementos estatísticos utilizados para a construção de gráficos e correlação de dados.
Existem diferentes tipos de média entre valores, que podem ser encontradas em fórmulas simples ou em cálculos mais complexos. Neste artigo, serão apresentadas as médias mais recorrentes em provas de vestibulares: aritmética simples e ponderada, harmônica e geométrica. Ainda, veja resolução de questões que cobram o tema. Leia mais!
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Definição de média
Médias podem ser definidas como a tendência central de um conjunto de números. Ou seja, em grupo com variados valores tenta-se encontrar qual o “meio do caminho”, ou o ponto mais central ou um valor que relacione todos eles.
Por exemplo, em um conjunto de 5 números: 1, 34, 35, 40, 32. Note que há uma predominância de números acima de 30 e apenas um número 1. Assim, a tendência central desse grupo numérico será mais próxima de 30 do que de 1. Para encontrar essa resposta, devem ser aplicadas as fórmulas de média, que serão abordadas nos próximos tópicos.
Tipos
A ideia principal em uma média matemática é a mesma em todos os tipos: encontrar uma relação numérica central. Entretanto, a fórmula como esse valor é calculado pode trazer diferentes interpretações! A depender do tipo de média há uma correção de pesos para cada valor, ou ainda para encontrar a média de uma progressão geométrica.
Média aritmética simples
Na média aritmética simples, tomam-se n valores e eles são somados entre si. Depois, a soma será dividida pelo número n de termos da soma, como mostra a fórmula abaixo.
Esse é o tipo de média mais conhecido e, muitas vezes, utilizado em sistemas avaliativos. Por exemplo, provas escolares. Por exemplo, um aluno que tenha tirado 10 na primeira avaliação do semestre e depois tira 5 na segunda avaliação terá uma média de (10 + 5)/2 = 7,5.
Note que o resultado final é influenciado por todos os elementos presentes na soma. Então, mesmo que o aluno tenha ido muito bem na primeira prova, seu desempenho mais baixo no segundo teste “puxou” sua nota para baixo. O resultado final é intermediário, a tendência central, entre os dois valores.
Média aritmética ponderada
No caso da média ponderada há um peso atribuído para cada valor da soma. Ou seja, alguns valores são mais significativos do que outros e isso se reflete no resultado final. Então, toma-se que há n valores, com n pesos e a fórmula é dada por:
Como exemplo, vamos analisar uma disciplina de faculdade que possua o seguinte sistema avaliativo:
Prova que vale de 0 a 10, com peso 6
Entrega de atividades que vale de 0 a 10, com peso 2
Participação em aula que vale de 0 a 10, com peso 1
Seminário que vale de 0 a 10, com peso 1
Diante disso, um aluno conseguiu as seguintes notas:
8 na prova
7 nas atividades entregues
10 na participação em sala
6 no simulado
Qual será a média final desse estudante?
Para encontrar o resultado é necessário calcular a média ponderada, a partir das notas obtidas e o peso de cada avaliação:
nota prova.6 + nota atividade.2 + participação.1 + seminário.1 / (6 + 2 + 1 + 1)
8.6 + 7.2 + 10.1 + 6.1 / 10
48 + 14 + 10 + 6 / 10
78 / 10
7,8
Nesse caso, perceba que, embora ele tenha tirado 10 na participação em sala de aula, esse valor não tem tanto peso na nota. Ou seja, quanto maior o peso da nota, mais próxima dela ficará a nota final.
No exemplo, os maiores pesos estão distribuídos entre a entrega de atividades e a prova propriamente dita. Veja que a nota final, 7,8 é muito próxima de 8 e 7.
+ Veja mais: Aritmética: o que é, operações básicas, questões e muito mais!
Média geométrica
As médias geométricas são muito utilizadas para o cálculo da média em sequências numéricas que seguem o padrão de progressões geométricas. Seu uso é voltado para geometria e áreas correlacionadas, além de aparecer em cálculos financeiros que dependem de porcentagem acumulada.
A fórmula da média geométrica depende de radiciação, como demonstrado a seguir.
Dado um conjunto A = {2, 4, 16, 32}, qual será sua média geométrica?
Primeiro, nota-se que o conjunto possui 4 elementos, ou seja, n = 4. Depois, vamos adicioná-los na raiz, considerando esse expoente:
Média geométrica = 4√2.4.16.32
Para facilitar os cálculos, é possível procurar um padrão de exponenciação entre os números. Todos os elementos do conjunto A são resultados da potenciação do número 2, então, vamos substituí-los dessa forma:
2 = 21
4 = 22
16 = 24
32 = 25
Média geométrica = 4√2.4.16.32
Média geométrica = 4√21.22.24.25
Conforme as propriedades da potenciação, como todas as bases são iguais e estão multiplicadas entre, basta somar os expoentes para chegar em um 2x.
Média geométrica = 4√21+2+4+5
Média geométrica = 4√212
Agora, basta dividir o expoente da base pelo índice da raiz: 12/4 = 3. Assim, a média geométrica será dada por 23 = 8.
Média harmônica
A média harmônica é utilizada em situações em que o conjunto numérico relaciona grandezas inversamente proporcionais. O exemplo mais clássico seria a velocidade média de um corpo, porque, à medida que a velocidade aumenta, o tempo torna-se menor para percorrer o mesmo trajeto.
A fórmula de média harmônica depende encontrar o inverso de cada elemento do conjunto. Ou seja, em um grupo numérico A, B e C, a média harmônica também utiliza A-1 = 1/A, B-1 = 1/B e C-1=1/C.
Diante disso, a fórmula é dada pelo número de elementos do conjunto (n) dividido pela soma dos inversos dos elementos:
Seja um conjunto E = {9, 12, 18}, a média harmônica deve ser calculada de forma que:
n = 3 (número de elementos em E)
É preciso, também, realizar a soma das frações que estão no denominador da divisão. Para isso, calcula-se o mínimo múltiplo comum entre os elementos (denominadores): MMC de 9, 12 e 18 = 36.
Agora, é necessário fazer a equivalência das frações para obter o denominador comum (MMC) em todas elas:
1/9 = 4/36
1/12 = 3/36
1/18 = 2/36
A soma entre as frações será (4 + 3 + 2)/ 36 = 9/36 = 1/4. Agora, temos o cálculo neste formato:
Agora, possuímos uma divisão de frações simplificada, que pode ser escrita assim:
Segundo as regras da divisão de frações, podemos inverter o denominador e numerador da segunda fração e fazer a multiplicação entre elas:
Então, a média harmônica do conjunto E é dada por 3.4 = 12.
+ Veja também: Fórmulas matemáticas: principais fórmulas que aparecem no vestibular
Questão sobre médias no Enem
Enem 2021
Black Friday é uma tradição norte-americana que consiste numa queda de preços de uma grande variedade de produtos disponíveis para venda na última sexta-feira do mês de novembro. No Brasil, em muitas lojas, essa prática se estende por todo esse mês. Para esse período, o gerente de uma loja de produtos eletrônicos que tem 5 vendedores estabelece uma meta de vendas de computadores para um total mínimo de 605 unidades. Ele considera que a média de vendas de computadores dos 5 vendedores juntos neste ano se manterá igual à dos últimos 5 anos, conforme apresentada no gráfico. Considere que a participação de cada vendedor na obtenção da meta seja igual.
Para que a meta da loja seja atingida, o gerente deverá estipular, para cada vendedor, um aumento na média de vendas de, no mínimo, quantas unidades?
a) 150
b)121
c) 91
d) 35
e) 30
Como a meta era de 605 e o esperado era de 455, há uma diferença de 150 unidades que devem ser vendidas por 5 vendedores. Portanto, cada vendedor deve vender em média 30 unidades a mais para alcançar a meta desejada.
Alternativa correta: E
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