Questões de Probabilidade das últimas edições da Fuvest

A Probabilidade é o estudo matemático que investiga as chances de um determinado evento acontecer. Para isso, são feitos cálculos e até mesmo experimentos que auxiliam a determinar as chances do algo estudado acontecer.

Um exemplo muito comum é calcular a Probabilidade de puxar uma carta do naipe de copas de um baralho: ao puxar uma carta aleatória de um baralho de 52 cartas, a chance de sair uma carta desse naipe é de 13 em 52 (já que existem 13 cartas de cada naipe). Isso equivale a 1/4, ou seja, 25%. E isso acontece porque são quatro naipes por baralho.

A Fuvest conta com exercícios que envolvem Probabilidade em Matemática, porque o estudo é também importante em outras ciências, como genética na biologia, por exemplo, para calcular possibilidades de genes aparecerem em uma situação ou característica envolvida. Isso demonstra a necessidade de se conhecer e saber agir quando o tema surge nas provas.

Reunimos algumas questões sobre Probabilidade que foram utilizadas na Fuvest nos últimos anos e estão presentes em nosso Banco de Questões, que conta com resoluções em texto e vídeo, além de fórum de dúvidas. Confira.

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7 questões de Probabilidade que caíram nas últimas edições do Vestibular USP

Veja, a seguir, algumas das questões de Probabilidade presentes nas últimas edições da Fuvest com resolução em texto e treine seu conhecimento no assunto agora mesmo.

Fuvest (2026) (1ª Fase)

O conceito de entropia permeia diversas áreas do conhecimento e foi introduzido na Teoria da Informação por Claude Shannon, que desenvolveu uma forma de calcular a entropia E de um sistema, a saber

em que P(x) é a probabilidade do i-ésimo resultado para a variável x.

Por exemplo, considere uma sequência com duas letras A coloridas, a primeira azul e a segunda vermelha (AazulAvermelha). Se essas duas letras fossem colocadas numa urna, a probabilidade de se retirar, sem observar, a letra azul, como na sequência original, é 1/2. Devolve-se a letra à urna e sorteia-se novamente. A probabilidade de sair vermelha é novamente 1/2, e nesse caso tem-se:

Para uma sequência com 4 letras A, as duas primeiras azuis e as duas últimas vermelhas (AazulAazulAvermelhaAvermelha) colocando-as numa urna e sorteando uma, a probabilidade de sair azul é 1/2. Devolve-se a letra e sorteia-se novamente. A probabilidade da segunda letra sorteada ser azul, como na sequência original, é novamente 1/2. Procedendo dessa forma para as duas letras vermelhas, tem-se:

Com base nessas informações, qual o valor da entropia E, no caso de uma sequência com 4 letras A, sendo as 3 primeiras azuis e a última vermelha (AazulAazulAazulAvermelha)? 

A 5 – 9/4log₂3
B ½ – 5/2log₂3
C 3/2
D 9/4log₂3
E 3

Resposta:

A sequência possui 4 letras: 3 azuis e 1 vermelha.

Ao colocar essas letras em uma urna, o total de itens é 4.

As probabilidades de retirar cada cor (com reposição) são constantes:

• Probabilidade de sair Azul (Pa): 3/4
• Probabilidade de sair Vermelha (Pv): 1/4

A fórmula da entropia apresentada soma um termo para cada posição da sequência original. A sequência alvo é A(azul) A(azul) A(azul) A(vermelha).

Calculamos o termo Plog₂P para cada posição:

1. Posição 1 (Azul): termo é 3/4log₂3/4

2. Posição 2 (Azul): termo é 3/4log₂/4

3. Posição 3 (Azul): termo é 3/4log₂/4

4. Posição 4 (Vermelha): termo é 1/4log₂1/4

Somando os termos:

Desenvolvendo os logaritmos:

log₂3/4 = log₂ 3 − log₂ 4 = log₂ 3 − 2

log₂1/4 = log₂ 1 − log₂ 4 = 0 − 2 = −2

Substituindo na soma:

A entropia é o negativo da soma (E = − ∑ ):

Alternativa correta: A

Fuvest (2022) (1ª fase)

Uma indústria produz três modelos de cadeiras (indicadas por 𝑀₁, 𝑀₂ e 𝑀₃), cada um deles em duas opções de cores: preta e vermelha (indicadas por P e V, respectivamente). A tabela mostra o número de cadeiras produzidas semanalmente conforme a cor e o modelo:

As porcentagens de cadeiras com defeito são de 2% do modelo 𝑀₁, 5% do modelo 𝑀₂ e 8% do modelo 𝑀₃. As cadeiras que não apresentam defeito são denominadas boas.

A tabela que indica o número de cadeiras produzidas semanalmente com defeito (D) e boas (B), de acordo com a cor, é:

A

B

C

D

E

Fuvest (2020) (1ª fase)

Carros que saem da cidade A rumo a alguma das cidades turísticas E, F e G fazem caminhos diversos, passando por pelo menos uma das cidades B, C e D, apenas no sentido indicado pelas setas, como mostra a figura. Os números indicados nas setas são as probabilidades, dentre esses carros, de se ir de uma cidade a outra.

Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é

A 0,120.
B 0,216.
C 0,264.
D 0,336.
E 0,384.

Resposta:

Estamos em A e devemos ir a F. Assim, temos três caminhos possíveis

Logo, teremos a seguinte probabilidade para a situação pedida

(0,2∙0,6) + (0,8∙0,9∙0,1∙0,6) + (0,8∙0,9∙0,3) = 0,384

Alternativa correta: E

Fuvest (2019) (1ª fase)

Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se uma unidade para a direita ou mover‐se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.  

Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?

A 1/9
B 17/81
C 1/3
D 51/125
E 125/243

Resposta:

Considerando P (parado), E (andar para esquerda) e D (andar para direita), com cada uma com probabilidade 1/3 de ocorrer as possibilidades de permanecer na posição inicial são:

1) ficar 5 rodadas sem andar: 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 → (1/3)⁵

2) ficar 4 rodadas sem andar e 1 andando: impossível, pois não voltaria para o mesmo lugar

3) ficar 3 rodadas sem andar e 2 andando: 𝑃𝑃𝑃𝐸𝐷 → (1/3)⁵. (#𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑟)

4) ficar 2 rodas sem andar e 3 andando: impossível, não voltaria para o mesmo lugar

5) ficar 1 rodada sem andar e 4 andando: 𝑃𝐸𝐸𝐷𝐷 → (1/3)⁵ (#𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑟)

6) ficar 0 rodas sem andar e 5 andando: impossível, não voltaria para o mesmo lugar

Logo, somando-se os casos:

Alternativa correta: B

Fuvest (2017) (1 ª fase)

Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo secreto (ou amigo oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é

A 1/4
B 7/24
C 1/3
D 3/8
E 5/12

Resposta: 

O número total de formas de se retirar os papeis é: 4!=24.

Vamos definir o seguinte par ordenado (𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎, 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜)

Assim,

Assim,

𝑃 = 9/24 = 3/8

Alternativa correta: D

Fuvest (2016) (1ª fase)

Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1/3?

A 2
B 4
C 6
D 8
E 10

Resposta:

Seja 𝑥 o número de bolas vermelhas. Assim, o número total de bolas: 6+𝑥 Probabilidade de tirar, sem reposição, 2 bolas azuis é de:

𝑥² +11𝑥−60 = 0 → (𝑥+15)(𝑥−4) = 0 → 𝑥 = 4 (𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)

Logo, o número de bolas vermelhas é 4.

Alternativa correta: B

Fuvest (2015) (1ª fase)

De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23͵ cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é:

A 1/130
B 1/420
C 10/1771
D 25/7117
E 52/8117

Resposta:

De acordo com o texto, Luís tem cinco cartas na mão com os naipes ♢♠♡♣. 

O baralho original contém, ainda segundo o enunciado:

Como Luís retirou 5 cartas com os naipes ♢♠♡♣, ainda restam, no baralho:

Pelas regras, Luís descartará as três cartas de naipes ♠♡♣ na esperança de, ao pegar outras três cartas dentre as 23 restantes, receber três naipes ♢.

Chamemos 𝑃₁ a probabilidade de Luís receber uma carta de naipe ♢ na primeira retirada, 𝑃₂ na segunda e 𝑃₃ na terceira.

Como estamos lidando com uma situação sem reposição, podemos dizer, com base na definição de probabilidade, que

pois há 5 cartas de naipe ♢ dentre as 23 remanescentes.

Quando Luís pega uma carta de naipe ♢, passamos a ter 22 cartas remanescentes e, dentre essas, somente 4 de naipe ♢, pois ele acabou de pegar uma das 5 que havia no baralho.

Assim, podemos dizer que

𝑃₂ = 4 / 22

Com raciocínio semelhante, temos, agora, 21 cartas no baralho e, dentre essas, 3 de naipe ♢, portanto

𝑃₃ = 3 / 21.

Assim, pelo princípio multiplicativo, podemos dizer que a probabilidade 𝑃₁₂₃ de Luís pegar as três cartas de naipe ♢ é dada pelo produto

Fatorando os números.

Alternativa correta: C

Principais temas de Matemática da Fuvest

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