Questões de Geometria Espacial das últimas edições da Unicamp

A Geometria Espacial estuda figuras tridimensionais, que são objetos que possuem profundidade, além de comprimento e largura. Assim, ela atua no volume e área da superfície dos chamados sólidos geométricos. Esferas, cubos, pirâmides, cones e cilindros são os principais exemplos.

os poliedros são sólidos formados apenas por faces poligonais planas, e incluem prismas, já citadas pirâmides e cubos, e os poliedros de Platão, que possuem várias faces, como cubos, octaedros, dodecaedro e icosaedro (8, 12 e 20 faces, respectivamente).

Além disso, existem também os chamados corpos redondos, que possuem superfícies curvas. Os principais são os cilindros, cones e esferas. O assunto também aborda as características desses polígonos como suas faces, arestas e vértices.

O estudo é muito utilizado na arquitetura e construção civil, para calcular espaços internos, projetar edifícios e volume de materiais como concreto. Além desse uso, a Geometria Espacial é vista também nas indústrias de modo geral, computação gráfica, logística e até mesmo Medicina e cartografia, em mapeamentos de órgãos em exames de imagem.

O assunto é comumente visto nos vestibulares e, consequentemente, na Unicamp, dada a versatilidade das aplicações e importância delas em ciências variadas.

Reunimos questões sobre Geometria Espacial que foram utilizadas pela Unicamp nos últimos anos e que estão presentes em nosso Banco de Questões. O artigo conta também com resoluções em texto, feitas pelos professores do EV. A plataforma possui, também, as resoluções em vídeo, fórum de dúvidas e muitos outros recursos.

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7 questões sobre Geometria Espacial que caíram nas últimas edições do Vestibular Unicamp

Veja, a seguir, algumas das questões que abordam a Geometria Espacial presentes nas últimas edições do vestibular Unicamp, com resolução em texto, e treine seu conhecimento no assunto agora mesmo.

Unicamp (2024) (1ª fase)

Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem 2m de largura e seu ponto mais alto está a 2,5m do chão, conforme figura a seguir.

Para realizar sua pesquisa, ela precisa entrar na caverna com um equipamento guardado em uma caixa de 1m de largura. Qual é a altura máxima, em metros, que a caixa pode ter para passar pela entrada da caverna?

A 11/8.
B 13/8.
C 15/8.
D 17/8.

Resposta:

Vamos adotar um sistema de coordenadas cartesianas com eixo 𝑦 contendo o vértice da parábola de concavidade voltada para baixo (𝑎 < 0 e 𝑏 = 0).

Dessa forma, temos uma bela simetria na imagem, com raízes 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = −2.

Os pontos de encontro da caixa com o eixo x são

Já o vértice da parábola será:

Com todas as informações sobre a parábola, podemos chegar a sua equação:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 0 ⋅ 𝑥 + 5/2

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 5/2

Sabemos que 𝑓(1) = 0, pois 1 é uma das raízes, então:

Portanto, temos a função:

A altura máxima se dá nos pontos onde 𝑥 = 1/2 ou 𝑥 = − 1/2. 

Dessa forma:

Alternativa correta: C

Unicamp (2023) (1ª fase)

Um recipiente cilíndrico de altura h tem água em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a seguir.

Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e depois do mergulho da esfera é igual a

A 2R.
B R.
C R/3.
D 2R/3.

Resposta: 

O raio do cilindro é 2𝑅, então a área da base é:

Abase = 𝜋(2𝑅)²= 4𝜋𝑅².

O volume deslocado de água é igual ao volume da esfera que foi mergulhada:

Se Δℎ é a elevação do nível da água, então

Alternativa correta: C

Unicamp (2021) (1º fase)

No início do expediente do dia 16 de março de 2020, uma farmácia colocou à disposição dos clientes um frasco cilíndrico de 500 ml (500𝑐𝑚³) de álcool em gel para higienização das mãos. No final do expediente, a coluna de álcool havia baixado 5 cm. Sabendo que a base do cilindro tem diâmetro de 6 cm e admitindo o mesmo consumo de álcool em gel nos dias seguintes, calcula-se que o frasco ficou vazio no dia

A 17 de março.
B 18 de março.
C 19 de março.
D 20 de março.

Resposta: 

Se, por dia, o nível baixa 5 𝑐𝑚 no cilindro de 6 𝑐𝑚 de diâmetro (3 𝑐𝑚 de raio), podemos calcular o volume consumido pelos clientes em um dia.

𝑉𝑑𝑖𝑎 = 𝜋 ⋅ 𝑟² ⋅ ℎ
𝑉𝑑𝑖𝑎 = 𝜋 ⋅ 3² ⋅ 5

Se temos 500 𝑐𝑚³ de volume no cilindro todo, conseguimos saber o número de dias necessários para esvaziá-lo pela razão entre o volume do cilindro todo e o volume diário consumido.

Perceba que não precisamos calcular efetivamente o número de dias, pois a natureza do problema apenas exige que saibamos para quantos dias inteiros o cilindro será suficiente.

Nesse sentido, conseguimos posicionar nossa razão entre os números 3 e 4.

3 < < 4

Dessa forma, o volume disponível no cilindro seria o suficiente para 3 dias inteiros, mas seria esgotado antes que terminasse o 4° dia.

16/3 → 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑢𝑟𝑜𝑢 𝑜 𝑑𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜

17/3 → 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑢𝑟𝑜𝑢 𝑜 𝑑𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜

18/3 → 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑢𝑟𝑜𝑢 𝑜 𝑑𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜

19/3 → 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑢𝑟𝑜𝑢 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎

Alternativa correta: C

Unicamp (2019) (1ª fase)

Considere um paralelepípedo retângulo, cujas arestas têm comprimento 6cm, 8cm e 10cm, e um triângulo cujos vértices são os centros (intersecção das diagonais) de três faces de dimensões distintas, como ilustra a figura a seguir. 

O perímetro 𝑃 desse triângulo é tal que

A P < 14 cm.
B 14 cm < P < 16 cm.
C 16 cm < P < 18 cm.
D P > 18 cm.

Resposta:

Seja 𝐴𝐶 = 𝑏,𝐴𝐵 =𝑐 𝑒 𝐵𝐶 =𝑎 pela relação da figura:

𝑎² = 3²+4² → 𝑎 = 5; 𝑏² = 3²+5² → 𝑏 =√34 ; 𝑐² = 4²+5² → 𝑐 = √41

Assim o perímetro é de: 2𝑝 = 𝑎+𝑏+𝑐 = 5+√34+√41

2𝑝 < 5+√33+√49 = 5+6+7 = 18

2𝑝 > 5+√25+√36 = 5+5+6 = 16

Alternativa correta: C

Unicamp (2017) (1ª fase)

Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2 𝑐𝑚², 3 𝑐𝑚² e 4 𝑐𝑚². O volume desse paralelepípedo é igual a

A 2√3 𝑐𝑚³.
B 2√6 𝑐𝑚³.
C 24 𝑐𝑚³.
D 12 𝑐𝑚³.

Unicamp (2016) (1ª fase)

Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a 

A (4√2)/3.
B 4/3.
C (3√2)/4.
D √2.

Unicamp (2015) (1ª fase)

Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a 𝑅, tem a mesma área de superfície total que uma esfera de raio

A 2𝑅.
B √3𝑅.
C √2𝑅. 
D 𝑅.

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