Questões de Análise Combinatória das últimas edições da Unesp 

Sabendo que a pontuação e a quantidade de jogos é dada por:

Pela condição de 𝑣 ≥ 0, 𝑒 ≥ 0, 𝑑 ≥ 0:

𝑒 ≥ 0 ⇒ 36 − 3𝑣 ≥ 0
𝑣 ≤ 12
𝑑 ≥ 0 ⇒ 2𝑣 − 16 ≥ 0
𝑣≥8
𝑣 = {8, 9, 10, 11, 12}
𝑒 = 36 − 3𝑣 = {12, 9, 6, 3, 0}
𝑑 = 2𝑣 − 16 = {0, 2, 4, 6, 8}
(𝑣, 𝑒, 𝑑) = {(8, 12, 0); (9, 9, 2); (10, 6, 4); (11, 3, 6); (12, 0, 8)}
𝑛=5

Alternativa correta: E

Para se retirar, com certeza, pelo menos 10 cartões de mesmo número, teremos de retirar todos os números com menos de 10 cartões, 9 cartões de todos os números que possuem 10 ou mais cartões e mais um – que possuirá um número repetido:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 ⋅ (100 − 9) + 1 = 865 cartões

Alternativa correta: A

Como temos possibilidades de cores repetidas, teremos 3 tipos de pilhas de 3 blocos: as de 3 cores diferentes, as com dois blocos amarelos e as com dois blocos vermelhos.

Para as torres de 3 cores diferentes, temos 4 cores disponíveis e 3 vagas. Além disso, mesmo que duas torres apresentem as mesmas cores, mas em ordens diferentes, serão consideradas torres diferentes, indicando que devemos considerar a escolha como um arranjo de 4 cores, tomados 3 a 3.

Desse modo, o número 𝑛 de torres diferentes com 3 cores distintas é dado por:

𝑛 = 𝐴₄,₃
𝑛 = 4 ∙ 3 ∙ 2
𝑛 = 24

Para as torres que apresentarem 2 peças amarelas, temos dois aspectos a considerar: o número de posições das peças amarelas e o número de opções para a terceira cor.
Para o número de opções que 2 peças amarelas podem ocupar em 3 lugares disponíveis, temos uma combinação de 3 lugares, tomados 2 a 2 cores.

𝐶₃,₂ = 3 ∙ 2 / 2 ∙ 1
𝐶₃,₂ = 3

Já para o número de escolhas da terceira cor (as duas primeiras foram amarelas), temos 3 cores disponíveis (azul, vermelho e verde) e apenas um lugar remanescente, assim, uma combinação de 3 cores, escolhidas uma a uma, ou seja, 3 opções.

𝐶₃,₁ = 3/1
𝐶₃,₁ = 3

Aqui, novamente, o momento de escolhermos entre os princípios multiplicativo ou aditivo.
Teremos, nesta torre de duas peças amarelas, qual das seguintes situações?

Duas peças amarelas E uma peça de outra cor.
Duas peças amarelas OU uma peça de outra cor.

Como cada torre deve ter, obrigatoriamente, 3 peças, teremos duas peças amarelas E uma peça de outra cor, indicando o uso do princípio multiplicativo. Assim, o número 𝑝 de torres que apresentam duas peças amarelas e uma peça de outra cor é dado por:

𝑝 = 𝐶₃,₂ ∙ 𝐶₃,₁
𝑝 = 3 ∙ 3
𝑝 = 9

A análise para o número de torres que apresentam 2 peças vermelhas e uma de outra cor é idêntica à análise feita para o número de torres que apresentam 2 peças amarelas e uma de outra cor, acompanhe.
O número de opções que 2 peças vermelhas podem ocupar em 3 lugares disponíveis, temos uma combinação de 3 lugares, tomados 2 a 2 cores.

𝐶₃,₂ = 3 ∙ 2 / 2 ∙ 1
𝐶₃,₂ = 3

Já para o número de escolhas da terceira cor (as duas primeiras foram vermelhas), temos 3 cores disponíveis (azul, amarelo e verde) e apenas um lugar remanescente, assim, uma combinação de 3 cores, escolhidas uma a uma, ou seja, 3 opções.

𝐶₃,₁ = 3/1
𝐶₃,₁ = 3

Novamente, a escolha do princípio a ser usado, no caso, o multiplicativo pois as torres apresentam duas peças vermelhas E uma peça de outra cor.

Desse modo, o número 𝑞 de torres que apresentam duas peças vermelhas e uma terceira de outra cor é dado por:

𝑞 = 𝐶₃,₂ ∙ 𝐶₃,₁
𝑞 = 3 ∙ 3
𝑞 = 9

Vamos organizar esses dados para não nos perdermos na resolução:

E agora, o que fazer com esses números? Estamos diante de um caso em que utilizaremos o princípio multiplicativo ou o aditivo?
Pensemos no caso das torres.

Cada torre apresenta 3 cores distintas E 2 amarelas E 2 vermelhas
Cada torre apresenta 3 cores distintas OU 2 amarelas OU duas vermelhas

Como cada torre só pode ser de um dos 3 tipos, não de todos ao mesmo tempo, estamos diante do princípio aditivo.

Assim, o número 𝑡 de torres diferentes que podemos montar com as condições dadas é de:

𝑡 = 𝑛 + 𝑝 + 𝑞
𝑡 = 24 + 9 + 9
𝑡 = 42

Alternativa correta: C

Número de classificações: 𝑛 = 16! = 16.15!
Olhando para log 𝑛 = log 16.15! = log 16 + log 15! = log 2⁴ + log 15!
log 𝑛 = 4. log 2 + log 15! ~ 4.0,3 + 12 = 1,2 + 12
𝑛 = 10¹•². 10¹² (𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠)

Alternativa correta: E

A chave para entender a resolução dessa questão está em separar as questões por alternativa. Utilizando o gabarito fornecido, em colunas.

A ordem de escolha não importa muito, desde que tenhamos, ao final, duas questões para cada alternativa de resposta.

Vamos escolher as alternativas na ordem em que aparecem, de a) para e), mas você pode fazer em outra ordem se quiser.

De início, temos 10 questões a resolver e estamos interessados em saber de quantos modos distintos podemos escolher duas alternativas a). Aqui não estamos interessados, ainda, nas outras alternativas, só na alternativa a).

Desse modo, temos.

Para escolher duas opções a) em 10 questões, temos uma combinação de 10 questões tomadas 2 a 2.

Assim, para escolher duas questões, dentre 10 possíveis, para a alternativa a), temos

Temos, então, 45 formas diferentes de escolher 2 alternativas a) dentre as 10 questões possíveis.

Passemos, então, à análise da alternativa b).

Do mesmo modo, temos uma combinação. No entanto, não podemos mais utilizar as 10 questões, pois já utilizamos 2 na alternativa a).

Assim, o número de maneiras de escolhermos duas alternativas b) nesse gabarito, dentre as 8 questões restantes é:

Analisemos, então, a alternativa c).

Para a escolha de 2 questões com a alternativa c) como resposta, temos sobrando apenas 6 questões ainda não assinaladas.

Assim, o número de maneiras de escolhermos a alternativa c) é dado por:

Análise da alternativa d).

Para a escolha da alternativa d), temos ainda menos opções, pois já utilizamos 6 das 10 questões inicialmente disponíveis com as alternativas a), b) e c).

Desse modo, temos, para a alternativa d), apenas 4 questões disponíveis para escolha.

E, por fim, temos a alternativa e).

Como já escolhemos 8 das 10 questões disponíveis, temos apenas uma maneira de escolher, dentre as 2 questões restantes, 2 alternativas e).

Agora, de posse de todos esses números, precisamos pensar se estamos diante do princípio multiplicativo ou do princípio aditivo.

Analisemos.

Cada gabarito de prova deve ser preenchido totalmente, implicando o uso de todas as alternativas, de a) a e). Assim, estamos diante do princípio multiplicativo.

Dessa forma, o número 𝑛 de gabaritos distintos, contendo exatamente duas respostas de cada alternativa é:

Alternativa correta: B

Façamos todas as combinações possíveis de apostas com 6 dezenas:

𝐶₆,₄ = 6! / 4! 2! = 15

É possível formarmos 15 jogos com 4 dezenas, pois, se escolhermos 6 números, ele nos dá a mesma quantidade de combinações que 15 jogos de 4. Então o preço será:

𝑝 = 2 ⋅ 15 = 𝑅$ 30,00

Alternativa correta: B

Seja 𝑎 a quantidade de bolas do sabor chocolate, 𝑏 a quantidade de morango e 𝑐 a quantidade de uva. 

É necessário que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4

Pensando nessas 4 bolas como “palitinhos” |,temos que organizar essa configuração: 

||||++. De quantas maneiras podemos organizar 4 palitinhos e 2 sinais de mais (6!)/(2!4!) = 6.5/2 = 15

Alternativa correta: E