Questões de Trigonometria das últimas edições da Unesp

A Trigonometria é o assunto de Matemática que estuda as relações entre os lados e ângulos dos triângulos, se estendendo também para as funções e o ciclo trigonométrico. Dentre os temas, são estudadas as chamadas razões trigonométricas fundamentais, que partem de um ângulo de referência θ, surgindo, assim, o seno, o cosseno e a tangente de um triângulo.

O seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hiponenusa e a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Todos três possuem ângulos notáveis, que facilitam a memorização na hora de fazer os cálculos. Geralmente, os principais ângulos utilizados nos vestibulares são de 30°, 45° e 60° e o Teorema de Pitágoras é a principal fórmula na Trigonometria.

Os cálculos que envolvem a Trigonometria são utilizados, por exemplo, nos setores de aviação e transporte, na navegação e GPS, com rotas de voo e triangulação de satélites, na programação para gráficos 3D e processamento de imagem, nas telecomunicações, com ondas sonoras e de rádio, e na astronomia e geografia, para medir distâncias e organizar cartografias.

A variedade e importância dos cálculos que envolvem a Trigonometria faz com que o assunto seja frequentemente utilizado nos vestibulares, já que o tema se aplica em diversas ciências e profissões.

Confira as questões sobre Trigonometria que já pintaram no vestibular Unesp e que reunimos no artigo abaixo, extraídas do Banco de Questões do Estratégia Vestibulares e com resoluções em texto dos professores do EV. Para resoluções em vídeo, comentários dos alunos e muito mais, acesse nossa plataforma.

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Unesp (2026) (1ª fase)

Nos períodos chuvosos do ano são frequentes os movimentos de massa. No esquema a seguir, que ilustra tal situação, foram omitidos os processos naturais indicados pelos números 1 e 2 que completariam corretamente as respectivas lacunas.

A declividade percentual de uma encosta, calculada pela razão entre sua componente vertical e sua componente horizontal, além do tipo de material de que é composta, são fatores que podem causar instabilidade e deslizamentos. A imagem a seguir mostra ângulos de repouso, que representam o ângulo máximo que o talude de um material inconsolidado pode ter sem desabar, para dois tipos de materiais de uma encosta.

Considere os dados:

Sem que se saiba exatamente se uma encosta é composta de partículas menores ou maiores, a declividade percentual máxima para que ela não seja suscetível ao movimento de massa e os processos naturais indicados pelos números 1 e 2 são, respectivamente:

A 82%, 1 – a erosão, 2 – o intemperismo
B 82%, 1 – o intemperismo, 2 – a erosão
C 70%, 1 – a erosão, 2 – o intemperismo
D 70%, 1 – o intemperismo, 2 – a erosão
E 100%, 1 – o intemperismo, 2 – a erosão

Resposta:

Intemperismo é apenas o desgaste da rocha por meio da radiação solar, ventou ou umidade.

Ao passo que a erosão é o transporte daquilo que foi desgastado, ou seja, sempre ocorre intemperismo para depois ocorrer erosão.

1 – Intemperismo (altera as rochas)
2 – Erosão (remove partículas).

Declividade percentual: D = tan(θ) . 100.
Entre 35° e 45°, a máxima segura adotada é a da menor inclinação: tan(35°) ≈ 0,70 -> 70%.
Resposta: 1 e 2; declividade ≈ 70%. (Letra D)

Alternativa correta: D

Unesp (2025) (1ª fase)

Um triângulo tem o menor lado medindo k cm, e as medidas de seus ângulos internos estão na proporção 1 : 2 : 3. A área desse triângulo, em função de k, é igual a:

Resposta:

Os ângulos internos do triângulo são proporcionais a 1: 2: 3:

𝛼=𝑥
𝛽 = 2𝑥
𝛾 = 3𝑥
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°
𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 = 180°
𝑥 = 30°
(𝛼, 𝛽, 𝛾) = (30°, 60°, 90°)

O menor lado, k, está oposto ao menor ângulo, 30°, assim:

Para a área desse triângulo retângulo:

Alternativa correta: E

Unesp (2024) (1ª fase)

A figura indica o projeto de uma casa, sustentada por dois pilares e com rampa retilínea, de inclinação α em relação à horizontal, direcionando-se ao subsolo da casa. Todas as medidas indicadas na figura estão em metros.

Dados:

Considerando que os dois pilares são retilíneos e perpendiculares ao eixo x, a medida do pilar menor, em metros, e o intervalo angular ao qual α pertence são, respectivamente:

A 77/8 e 30º < α < 31º
B 77/6 e 30º < α < 31º
C 77/8 e 23º < α < 24º
D 77/8 e 26º < α < 27º
E 77/6 e 31º < α < 32º

Resposta:

Observe a imagem a seguir:

Do triângulo ABC, temos:

Do triângulo ADE, temos:

Alternativa correta: B

Unesp (2022) (2ª fase)

A órbita da Lua em torno da Terra é elíptica, porém, podemos considerá-la aproximadamente circular, com ciclo completo de aproximadamente 27,3 dias. As imagens a seguir mostram como visualizamos, da Terra, as fases da Lua em função do ângulo θ, com x e y dados em quilômetros.

Sendo r a medida, em quilômetros, do raio da Lua, os valores de x e y, ambos em função de θ, nesse modelo são

A x = r – r sen Ø e y = r + r sen Ø.
B x = r – r cos Ø e y = r + r cos Ø.
C x = r + r cos Ø e y = r – r cos Ø.
D x = r + r sen Ø e y = r – r sen Ø.
E x = r + sen 2Ø e y = r – r sen 2Ø.

Resposta:

Considerando-se a figura a seguir, tem-se:

Do triângulo ABC:

θ = 2α e x+y=2r

Então: tg α = .

Isolando-se AB:

AB = (eq. I)

Do triângulo ABD:

sen θ = sen (2α) =

Isolando-se x:.

x = AB.sen(2α) (eq. II)

Com as equações I e II:

(2.sen α.cos α)

x = r.2.cos² α

Portanto:

x = r(1+cos (2α))
Como θ = 2α e x+y=2r:
x = r(1+cos θ)

Fazendo-se a distributiva:

x = r+r.cos θ

De modo análogo:

y = r(1–cos θ)
y = r–r.cos θ

Alternativa correta: C

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Na aviação, o perímetro da região que define a fase final da manobra de aproximação para um helicóptero pairar ou pousar pode ser definido por meio de sinalizadores uniformemente espaçados. As características dimensionais desses sinalizadores de perímetro estão indicadas na figura a seguir.

Uma empresa contratada para produzir esse sinalizador está definindo os parâmetros para a produção em escala do artefato. Para tanto, é necessário conhecer o valor do ângulo β de abertura do sinalizador, indicado na figura, respeitadas as medidas nela apresentadas.

Considere a tabela trigonométrica a seguir.

De acordo com a tabela, o ângulo β necessário para a produção do sinalizador é igual a:

A 126,8º
B 120,0º
C 116,5º
D 150,0º
E 107,1º

Resposta:

Temos o seguinte esquema:

Dessa forma, para descobrirmos o ângulo φ, façamos a tangente

Daí, da tabela abaixo

Temos que

Alternativa correta: A

Unesp (2020) (1ª fase)

Uma das finalidades da Ciência Forense é auxiliar nas investigações relativas à justiça civil ou criminal. Observe uma ideia que pode ser empregada na análise de uma cena de crime.

Uma gota de sangue que cai perfeitamente na vertical, formando um ângulo de 90º com a horizontal, deixa uma mancha redonda. À medida que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, a mancha fica cada vez mais longa.

As ilustrações mostram o alongamento da gota de sangue e a relação trigonométrica envolvendo o ângulo de impacto e suas dimensões.

Considere a coleta de uma amostra de gota de sangue e a tabela trigonométrica apresentada a seguir.

De acordo com as informações, o ângulo de impacto da gota de sangue coletada na amostra foi de

A 37º
B 74º
C 59º
D 53º
E 31º

Resposta:

De acordo com o enunciado, inferimos a seguinte figura:

Considerando o triângulo retângulo:

𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1,5 / 2,5 = 𝛼 = 37°

Alternativa correta: A

Unesp (2018) (1ª fase)

Observe a figura da representação dos pontos M e N sobre a superfície da Terra.

Considerando a Terra uma esfera de raio 6 400 km e adotando π = 3, para ir do ponto M ao ponto N, pela superfície da Terra e no sentido indicado pelas setas vermelhas, a distância percorrida sobre o paralelo 60º Norte será igual a

A 2 100 km.
B 1 600 km.
C 2 700 km.
D 1 800 km.
E 1 200 km.

Resposta:

Analisando a esfera, temos que:

No triângulo retângulo OCM, tem0-se:

𝑐𝑜𝑠 60° = 𝐶𝐴/ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑜𝑠 60° = 𝐶𝑀/𝑂𝑀

1/2 = 𝐶𝑀/6400
𝐶𝑀 = 3200 𝑘𝑚

Fazendo o mesmo procedimento para o triângulo OCN, teremos 𝐶𝑁 = 𝐶𝑀 = 3200 𝑘𝑚.

Agora podemos calcular a medida do arco 𝑀𝑁:

360° → 2𝜋 ⋅ 3200
30° → 𝑀𝑁
𝑀𝑁 = 1600𝑘𝑚

Alternativa correta: B

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